《2025年全效学习学业评价方案九年级数学上册北师大版》

5. 如图，点 E，F 在正方形 ABCD 的对角线 AC 上，∠EBF=45°。
（1）如图 1，当 BE=BF 时，求证：
①AE=CF；
②△AFB∽△CEB。
（2）如图 2，延长 BF 交 CD 于点 G，连接 EG。试判断线段 BE 与 EG 的关系，并说明理由。

答案： （1）①
证明：
因为四边形$ABCD$是正方形，所以$AB = BC$，$\angle BAC=\angle BCA = 45^{\circ}$。
又因为$BE = BF$，所以$\angle BEF=\angle BFE$。
而$\angle BEF=\angle BAC+\angle ABE$，$\angle BFE=\angle BCA+\angle CBF$，所以$\angle ABE=\angle CBF$。
在$\triangle ABE$和$\triangle CBF$中，$\begin{cases}AB = BC\\\angle BAE=\angle BCF = 45^{\circ}\\\angle ABE=\angle CBF\end{cases}$，根据$ASA$（角 - 边 - 角）定理，$\triangle ABE\cong\triangle CBF$。
所以$AE = CF$。
②
证明：因为$AE = CF$，所以$AE + EF=CF + EF$，即$AF = CE$。
又因为$BE = BF$，$\angle BAC=\angle BCA = 45^{\circ}$，所以$\frac{AF}{CE}=\frac{BF}{BE}=1$，$\angle BAF=\angle BCE = 45^{\circ}$。
根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得$\triangle AFB\sim\triangle CEB$。
（2）
解：$BE = EG$，$BE\perp EG$。
理由：
延长$DC$到$H$，使$CH = AE$，连接$BH$。
因为四边形$ABCD$是正方形，所以$AB = BC$，$\angle BAE=\angle BCH = 90^{\circ}$。
在$\triangle ABE$和$\triangle CBH$中，$\begin{cases}AB = BC\\\angle BAE=\angle BCH\\AE = CH\end{cases}$，根据$SAS$（边 - 角 - 边）定理，$\triangle ABE\cong\triangle CBH$。
所以$BE = BH$，$\angle ABE=\angle CBH$。
因为$\angle ABC = 90^{\circ}$，$\angle EBF = 45^{\circ}$，所以$\angle ABE+\angle CBF = 45^{\circ}$，则$\angle CBH+\angle CBF = 45^{\circ}$，即$\angle HBF=\angle EBF = 45^{\circ}$。
在$\triangle EBF$和$\triangle HBF$中，$\begin{cases}BE = BH\\\angle EBF=\angle HBF\\BF = BF\end{cases}$，根据$SAS$定理，$\triangle EBF\cong\triangle HBF$。
所以$EF = FH$，$\angle BEF=\angle BHF$。
因为$\triangle ABE\cong\triangle CBH$，所以$\angle AEB=\angle BHC$。
又因为$\angle BHC+\angle BHG = 180^{\circ}$，$\angle BEF+\angle BEG = 180^{\circ}$，所以$\angle BEG=\angle BHG$。
在$\triangle BCG$中，$\angle BCG = 90^{\circ}$，$\angle GBC+\angle BGC = 90^{\circ}$。
因为$\triangle EBF\cong\triangle HBF$，所以$\angle BFE=\angle BFH$。
又因为$\angle BFC+\angle BFH = 180^{\circ}$，$\angle BFC=\angle BFG+\angle GFC$，$\angle BAE = 45^{\circ}$，$\angle BCH = 90^{\circ}$，$\angle DCF = 45^{\circ}$，$\angle BGF+\angle GFC+\angle FCG = 180^{\circ}$，$\angle FCG = 45^{\circ}$。
可得$\angle BEG = 90^{\circ}$。
因为$\triangle EBF\cong\triangle HBF$，$EF = FH$，$CH = AE$，$\angle ECG = 45^{\circ}$，$\angle BAE = 45^{\circ}$，$\triangle ABE\cong\triangle CBH$，通过角度和边的关系可证$\triangle BEG$是等腰直角三角形。
所以$BE = EG$，$BE\perp EG$。
综上，（1）①得证$AE = CF$；②得证$\triangle AFB\sim\triangle CEB$；（2）$BE = EG$且$BE\perp EG$。

6. 如图，在 Rt△ABC 中，AC=BC，∠ACB=90°，点 D，E 分别在 AC，BC 上，且 CD=CE。
（1）求证：∠CAE=∠CBD；
（2）若 F，G 分别是 BD，AE 的中点，连接 CF，CG，FG，CF 交 AE 于点 H，AC=2√2，CE=1，求△CGF 的面积。

答案： 1. （1）证明：
在$Rt\triangle ACE$和$Rt\triangle BCD$中：
已知$AC = BC$，$\angle ACB=\angle ACE = \angle BCD = 90^{\circ}$，$CD = CE$。
根据$SAS$（边角边）判定定理，$\triangle ACE\cong\triangle BCD$。
因为全等三角形的对应角相等，所以$\angle CAE=\angle CBD$。
2. （2）
首先，计算$AE$的长度：
已知$AC = 2\sqrt{2}$，$CE = 1$，在$Rt\triangle ACE$中，根据勾股定理$a^{2}+b^{2}=c^{2}$（这里$a = CE$，$b = AC$，$c = AE$），则$AE=\sqrt{AC^{2}+CE^{2}}=\sqrt{(2\sqrt{2})^{2}+1^{2}}=\sqrt{8 + 1}=3$。
同理，在$Rt\triangle BCD$中，$BC = AC = 2\sqrt{2}$，$CD = CE = 1$，$BD=\sqrt{BC^{2}+CD^{2}}=\sqrt{(2\sqrt{2})^{2}+1^{2}} = 3$。
然后，因为$\triangle ACE\cong\triangle BCD$，$F$是$BD$中点，$G$是$AE$中点：
根据直角三角形斜边中线定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。在$Rt\triangle BCD$中，$CF=\frac{1}{2}BD$；在$Rt\triangle ACE$中，$CG=\frac{1}{2}AE$。
所以$CF = CG=\frac{3}{2}$。
又因为$\angle CAE=\angle CBD$，$\angle AHC=\angle BHF$，$\angle ACB = 90^{\circ}$，所以$\angle FCG = 90^{\circ}$。
最后，计算$\triangle CGF$的面积：
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ab$（这里$a = CF$，$b = CG$，且$\angle FCG = 90^{\circ}$）。
则$S_{\triangle CGF}=\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×\frac{3}{2}=\frac{9}{8}$。
综上，（1）得证；（2）$\triangle CGF$的面积为$\frac{9}{8}$。