《2025年全效学习学业评价方案九年级数学上册北师大版》

5. 已知关于x的一元二次方程$x^{2}-2mx + m^{2}-m = 0$有两个实数根a,b.
(1)求实数m的取值范围.
(2)是否存在实数m,使得代数式$a^{2}+b^{2}-3ab$的值为5? 若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.

答案： $(1)$求实数$m$的取值范围
对于一元二次方程$Ax^{2}+Bx + C = 0(A\neq0)$，其判别式$\Delta=B^{2}-4AC$。
在方程$x^{2}-2mx + m^{2}-m = 0$中，$A = 1$，$B=-2m$，$C=m^{2}-m$。
因为方程有两个实数根，所以$\Delta\geq0$，即$(-2m)^{2}-4×1×(m^{2}-m)\geq0$。
解这个不等式：
$\begin{aligned}4m^{2}-4m^{2}+4m&\geq0\\4m&\geq0\\m&\geq0\end{aligned}$
$(2)$判断是否存在实数$m$使得$a^{2}+b^{2}-3ab = 5$
根据韦达定理，对于一元二次方程$Ax^{2}+Bx + C = 0(A\neq0)$，若方程的两根为$x_1$，$x_2$，则$x_1 + x_2=-\frac{B}{A}$，$x_1x_2=\frac{C}{A}$。
在方程$x^{2}-2mx + m^{2}-m = 0$中，$a + b=-\frac{-2m}{1}=2m$，$ab=\frac{m^{2}-m}{1}=m^{2}-m$。
根据完全平方公式$a^{2}+b^{2}=(a + b)^{2}-2ab$，则$a^{2}+b^{2}-3ab=(a + b)^{2}-2ab-3ab=(a + b)^{2}-5ab$。
把$a + b = 2m$，$ab=m^{2}-m$代入$(a + b)^{2}-5ab$得：
$(2m)^{2}-5(m^{2}-m)$
若$(2m)^{2}-5(m^{2}-m)=5$，则：
$\begin{aligned}4m^{2}-5m^{2}+5m&=5\\-m^{2}+5m - 5&=0\\m^{2}-5m + 5&=0\end{aligned}$
对于一元二次方程$m^{2}-5m + 5=0$，其中$A = 1$，$B=-5$，$C = 5$，其判别式$\Delta=(-5)^{2}-4×1×5=25 - 20=5\gt0$。
根据求根公式$m=\frac{-B\pm\sqrt{\Delta}}{2A}$，可得$m=\frac{5\pm\sqrt{5}}{2}$。
又因为由$(1)$知$m\geq0$，$\frac{5+\sqrt{5}}{2}\gt0$，$\frac{5-\sqrt{5}}{2}\gt0$。
综上，$(1)$ $m$的取值范围是$m\geq0$；$(2)$ 存在实数$m$，$m$的值为$\frac{5 + \sqrt{5}}{2}$或$\frac{5-\sqrt{5}}{2}$。

6. 已知关于x的方程$ax^{2}+(3 - 2a)x + a - 3 = 0$.
(1)求证:无论a为何实数,方程总有实数根;
(2)如果方程有两个实数根$x_{1},x_{2}$,当$|x_{1}-x_{2}|=\frac{3}{2}$时,求出a的值.

答案： $(1)$ 证明方程总有实数根
- **当$a = 0$时**：
方程化为$3x - 3 = 0$，这是一个一元一次方程，解这个方程$3x=3$，可得$x = 1$，此时方程有实数根。
- **当$a\neq0$时**：
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，其判别式$\Delta=b^{2}-4ac$，在方程$ax^{2}+(3 - 2a)x + a - 3 = 0$中，$b = 3 - 2a$，$c = a - 3$，则$\Delta=(3 - 2a)^{2}-4a(a - 3)$。
根据完全平方公式$(m-n)^2=m^2-2mn + n^2$展开$(3 - 2a)^{2}$得$9-12a + 4a^{2}$，根据单项式乘多项式法则展开$4a(a - 3)$得$4a^{2}-12a$。
所以$\Delta=9-12a + 4a^{2}-(4a^{2}-12a)=9-12a + 4a^{2}-4a^{2}+12a = 9\gt0$。
所以当$a\neq0$时，方程有两个不相等的实数根。
综上，无论$a$为何实数，方程总有实数根。
$(2)$ 求$a$的值
已知方程$ax^{2}+(3 - 2a)x + a - 3 = 0(a\neq0)$有两个实数根$x_{1}$，$x_{2}$，根据韦达定理，对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，$x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}$，$x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}$。
则$x_{1}+x_{2}=-\frac{3 - 2a}{a}=\frac{2a - 3}{a}$，$x_{1}x_{2}=\frac{a - 3}{a}$。
因为$\vert x_{1}-x_{2}\vert=\frac{3}{2}$，两边平方可得$(x_{1}-x_{2})^{2}=\frac{9}{4}$。
根据完全平方公式$(x_{1}-x_{2})^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}$，则$(\frac{2a - 3}{a})^{2}-4×\frac{a - 3}{a}=\frac{9}{4}$。
设$t=\frac{1}{a}$，则$(2 - 3t)^{2}-4(1 - 3t)=\frac{9}{4}$。
展开$(2 - 3t)^{2}$得$4-12t + 9t^{2}$，则$4-12t + 9t^{2}-4 + 12t=\frac{9}{4}$，即$9t^{2}=\frac{9}{4}$。
解得$t^{2}=\frac{1}{4}$，$t=\pm\frac{1}{2}$。
当$t=\frac{1}{2}$时，$\frac{1}{a}=\frac{1}{2}$，解得$a = 2$。
当$t=-\frac{1}{2}$时，$\frac{1}{a}=-\frac{1}{2}$，解得$a=-2$。
综上，$a$的值为$\boldsymbol{2}$或$\boldsymbol{-2}$。

7. 如果方程$x^{2}+px + q = 0$的两个根是$x_{1},x_{2}$,那么$x_{1}+x_{2}=-p,x_{1}x_{2}=q$. 请根据以上结论,解决下列问题:
(1)已知关于x的方程$x^{2}+mx + n = 0(n≠0)$,求出一个一元二次方程,使它的两根分别是已知方程两根的倒数;
(2)已知a,b满足$a^{2}-15a - 5 = 0,b^{2}-15b - 5 = 0$,求$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$的值;
(3)已知a,b,c均为实数,且$a + b + c = 0,abc = 16$,求正数c的最小值.

答案：
(1)$nx^2 + mx + 1 = 0(n \neq 0)$。
(2)$\frac{a}{b} + \frac{b}{a}$的值为$-47$或2。
(3)$c$的最小值为4。