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16. [2024·浑南区期中改编]“综合与实践”课上，老师引导同学们以“如何确定正方形边长的三等分点”为主题开展探究活动。同学们手持学具(正方形纸、带刻度的直尺等)分小组展开讨论；各小组集思广益，拓展思路，利用所学知识解决问题。
(1)除直接测量外，第一、二、三小组分别展示了不同方法。请任选其中一种方法，证明点 $M$ 为正方形边长的三等分点。
①第一小组采用“平行线法”：如图 1，将刻度尺的刻度 $0$ 与正方形顶点 $A$ 重合，将点 $B$ 与刻度 $3$ 对应点 $E$ 连接，过刻度 $1$ 对应点 $F$ 作 $FM// EB$，交 $AB$ 于点 $M$。
②第二小组采用“折叠法”：如图 2，取一张正方形纸对折后展开，分别得到 $AD$，$BC$ 的中点 $F$，$E$；将 $\triangle ABE$ 沿 $AE$ 翻折，得 $\triangle AB'E$；$M$ 为 $DC$ 上一点，将 $\triangle ADM$ 沿 $AM$ 翻折，使 $AD'$ 与 $AB'$ 重合。
③第三小组采用“折叠法”：如图 3，取一张正方形纸对折后展开，分别得到 $AD$，$BC$ 的中点 $F$，$E$；$Q$ 为 $DC$ 上一点，$H$ 为 $AB$ 上一点，将四边形 $ADQH$ 沿 $HQ$ 翻折，当点 $D$ 与点 $E$ 重合时，$A'E$ 交 $AB$ 于点 $M$。
(2)探究活动中，同学们利用翻折前后图形的基本元素(角、线段、三角形)之间的关联，为解决问题寻找新思路，请你利用这种解题策略探究下列问题：
已知正方形 $ABCD$ 的边长为 $8$，点 $P$ 在边 $BC$ 上，将 $\triangle ABP$ 沿直线 $AP$ 翻折，使得点 $B$ 落在正方形内的点 $M$ 处，连接 $CM$ 并延长，交正方形 $ABCD$ 一边于点 $G$。当 $AG = CP$ 时，请直接写出 $CP$ 的长。
(1)除直接测量外，第一、二、三小组分别展示了不同方法。请任选其中一种方法，证明点 $M$ 为正方形边长的三等分点。
①第一小组采用“平行线法”：如图 1，将刻度尺的刻度 $0$ 与正方形顶点 $A$ 重合，将点 $B$ 与刻度 $3$ 对应点 $E$ 连接，过刻度 $1$ 对应点 $F$ 作 $FM// EB$，交 $AB$ 于点 $M$。
②第二小组采用“折叠法”：如图 2，取一张正方形纸对折后展开，分别得到 $AD$，$BC$ 的中点 $F$，$E$；将 $\triangle ABE$ 沿 $AE$ 翻折，得 $\triangle AB'E$；$M$ 为 $DC$ 上一点，将 $\triangle ADM$ 沿 $AM$ 翻折，使 $AD'$ 与 $AB'$ 重合。
③第三小组采用“折叠法”：如图 3，取一张正方形纸对折后展开，分别得到 $AD$，$BC$ 的中点 $F$，$E$；$Q$ 为 $DC$ 上一点，$H$ 为 $AB$ 上一点，将四边形 $ADQH$ 沿 $HQ$ 翻折，当点 $D$ 与点 $E$ 重合时，$A'E$ 交 $AB$ 于点 $M$。
(2)探究活动中，同学们利用翻折前后图形的基本元素(角、线段、三角形)之间的关联，为解决问题寻找新思路，请你利用这种解题策略探究下列问题：
已知正方形 $ABCD$ 的边长为 $8$，点 $P$ 在边 $BC$ 上，将 $\triangle ABP$ 沿直线 $AP$ 翻折，使得点 $B$ 落在正方形内的点 $M$ 处，连接 $CM$ 并延长，交正方形 $ABCD$ 一边于点 $G$。当 $AG = CP$ 时，请直接写出 $CP$ 的长。
答案：
(1)略
(2)CP的长为4或$8\sqrt{3}-8$.
(1)略
(2)CP的长为4或$8\sqrt{3}-8$.
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