《2025年全效学习学业评价方案九年级数学上册北师大版》

7. 如图，四边形ABCD是正方形，E是平面内异于点A的任意一点，以线段AE为边作正方形AEFG，连接EB，GD.
(1)如图1，请判断EB与GD的位置关系，并证明你的结论；
(2)如图2，若点E在线段DG上，$∠DAE=15^{\circ },AG=4$，求BE的长.

答案： $(1)$ 判断$EB$与$GD$的位置关系并证明
解（证明）：
因为四边形$ABCD$和四边形$AEFG$都是正方形，
所以$AB = AD$，$AE = AG$，$\angle BAD=\angle EAG = 90^{\circ}$。
$\angle BAD-\angle EAD=\angle EAG-\angle EAD$，即$\angle BAE=\angle DAG$。
在$\triangle BAE$和$\triangle DAG$中，
$\begin{cases}AB = AD\\\angle BAE=\angle DAG\\AE = AG\end{cases}$
根据$SAS$（边角边）定理可得$\triangle BAE\cong\triangle DAG$。
所以$\angle ABE=\angle ADG$。
设$AB$与$DG$相交于点$H$，
在$\triangle AHD$中，$\angle AHD + \angle ADG=90^{\circ}$，
因为$\angle ABE=\angle ADG$，$\angle AHD=\angle BHE$（对顶角相等），
所以在$\triangle BHE$中，$\angle BHE+\angle ABE = 90^{\circ}$，
则$\angle BEH=180^{\circ}-(\angle BHE+\angle ABE)=90^{\circ}$，
所以$EB\perp GD$。
$(2)$ 求$BE$的长
解：
因为四边形$AEFG$是正方形，$AG = 4$，所以$AE=AG = 4$，$\angle AEG = 45^{\circ}$。
因为$\angle DAE=15^{\circ}$，所以$\angle ADG=\angle ABE$（由$(1)$中$\triangle BAE\cong\triangle DAG$得到），
$\angle AED=\angle DAE+\angle ADG$（三角形外角性质），
又因为$\angle AED = 180^{\circ}-\angle AEG=180 - 45^{\circ}=135^{\circ}$，
所以$\angle ADG=\angle AED-\angle DAE=135^{\circ}-15^{\circ}=120^{\circ}$，则$\angle ABE = 30^{\circ}$。
过点$A$作$AM\perp BE$于点$M$，
在$Rt\triangle AEM$中，$\angle AEM = 45^{\circ}$，$AE = 4$，
根据$\sin\angle AEM=\frac{AM}{AE}$，$\cos\angle AEM=\frac{EM}{AE}$，可得$AM = EM=AE\sin45^{\circ}=4×\frac{\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$。
在$Rt\triangle ABM$中，$\angle ABE = 30^{\circ}$，$AM = 2\sqrt{2}$，
根据$\tan\angle ABE=\frac{AM}{BM}$，可得$BM=\frac{AM}{\tan30^{\circ}}=\frac{2\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = 2\sqrt{6}$。
所以$BE=BM + EM=2\sqrt{6}+2\sqrt{2}$。
综上，$(1)$$\boldsymbol{EB\perp GD}$；$(2)$$\boldsymbol{BE = 2\sqrt{6}+2\sqrt{2}}$。

8. 在正方形ABCD中，M为射线CD上一点(不与D重合)，以CM为边，在正方形ABCD的异侧作正方形CFGM，连接BM，DF，直线BM与直线DF交于点E.
(1)如图1，若点M在CD的延长线上，求证：$DF=BM,DF⊥BM.$
(2)如图2，若点M移到边CD上.
①在(1)中的结论是否仍成立？(直接回答不需证明)
②连接BD，若$BD=BF$，且正方形CFGM的边长为1，求正方形ABCD的周长.

答案： 1. （1）证明：
因为四边形$ABCD$和四边形$CFGM$是正方形，
所以$BC = CD$，$CM = CF$，$\angle BCD=\angle DCF = 90^{\circ}$。
在$\triangle BCM$和$\triangle DCF$中，
根据$SAS$（边角边）判定定理，$\left\{\begin{array}{l}BC = CD\\\angle BCM=\angle DCF\\CM = CF\end{array}\right.$。
所以$\triangle BCM\cong\triangle DCF$。
则$BM = DF$，$\angle CBM=\angle CDF$。
又因为$\angle BMC+\angle CBM = 90^{\circ}$，$\angle BMC=\angle DME$（对顶角相等）。
所以$\angle DME+\angle CDF = 90^{\circ}$。
在$\triangle DME$中，$\angle DEM=180^{\circ}-(\angle DME + \angle CDF)=90^{\circ}$，即$DF\perp BM$。
2. （2）①
结论仍然成立，即$DF = BM$，$DF\perp BM$。
3. （2）②
设正方形$ABCD$的边长为$x$。
因为正方形$CFGM$的边长为$1$，所以$CF = CM = 1$，则$BM=\sqrt{BC^{2}+CM^{2}}=\sqrt{x^{2}+1}$。
因为四边形$ABCD$是正方形，所以$BD=\sqrt{2}x$。
又因为$BD = BF$，$BF=BC + CF=x + 1$。
所以$\sqrt{2}x=x + 1$。
移项可得$\sqrt{2}x-x = 1$，即$x(\sqrt{2}-1)=1$。
解得$x=\frac{1}{\sqrt{2}-1}=\sqrt{2}+1$。
那么正方形$ABCD$的周长$C = 4x=4(\sqrt{2}+1)=4\sqrt{2}+4$。
综上，（1）得证；（2）①结论成立；（2）②正方形$ABCD$的周长为$4\sqrt{2}+4$。