《2025年全效学习学业评价方案九年级数学上册北师大版》

13. (1)如图 1，四边形 $ABCD$ 的对角线 $AC\perp BD$ 于点 $O$。判断 $AB^2 + CD^2$ 与 $AD^2 + BC^2$ 的数量关系，并说明理由。
(2)如图 2，分别以 $Rt\triangle ABC$ 的直角边 $AB$ 和斜边 $AC$ 为边向外作正方形 $ABDM$ 和正方形 $ACEN$，连接 $BN$，$CM$，交点为 $O$。
①判断 $CM$，$BN$ 的关系，并说明理由；
②连接 $MN$，若 $AB = 2$，$BC = 3$，请直接写出 $MN$ 的长。

答案：
(1)$AB^{2}+CD^{2}=AD^{2}+BC^{2}$,理由略.
(2)①$CM=BN$,$CM\perp BN$,理由略. ②5

14. 【课本再现】把两个全等的矩形 $ABCD$ 和矩形 $CEFG$ 拼成如图 1 的图案，求 $\angle ACF$ 的度数。$∠ACF=90^{\circ}$
【迁移应用】如图 2，在正方形 $ABCD$ 中，$E$ 是 $CD$ 边上一点(不与点 $C$，$D$ 重合)，连接 $BE$，将 $BE$ 绕点 $E$ 顺时针旋转 $90^{\circ}$ 至 $FE$，作射线 $FD$ 交 $BC$ 的延长线于点 $G$，求证：$CG = BC$。略
【拓展延伸】如图 3，在菱形 $ABCD$ 中，$\angle A = 120^{\circ}$，$E$ 是 $CD$ 边上一点(不与点 $C$，$D$ 重合)，连接 $BE$，将 $BE$ 绕点 $E$ 顺时针旋转 $120^{\circ}$ 至 $FE$，作射线 $FD$ 交 $BC$ 的延长线于点 $G$。
①线段 $CG$ 与 $BC$ 的数量关系是$CG=\frac{1}{2}BC$；
②若 $AB = 6$，$E$ 是 $CD$ 的三等分点，则 $\triangle CEG$ 的面积为$\frac{3\sqrt{3}}{2}$或$3\sqrt{3}$。

答案： 【课本再现】$∠ACF=90^{\circ}$
【迁移应用】略
【拓展延伸】①$CG=\frac{1}{2}BC$ ②$\frac{3\sqrt{3}}{2}$或$3\sqrt{3}$