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例 3 如图，在等腰直角三角形 $ABC$ 中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$AC = BC = 4$，$D$ 是 $AB$ 的中点，$E$，$F$ 分别是 $AC$，$BC$ 上的点(点 $E$ 不与点 $A$，$C$ 重合)，且 $AE = CF$，连接 $EF$ 并取 $EF$ 的中点 $O$，连接 $DO$ 并延长至点 $G$，使 $GO = DO$，连接 $DE$，$DF$，$GE$，$GF$。
(1)求证：四边形 $EDFG$ 是正方形；
(2)当点 $E$ 在什么位置时，四边形 $EDFG$ 的面积最小？并求四边形 $EDFG$ 面积的最小值。
(1)求证：四边形 $EDFG$ 是正方形；
(2)当点 $E$ 在什么位置时，四边形 $EDFG$ 的面积最小？并求四边形 $EDFG$ 面积的最小值。
答案：
1. （1）**证明四边形$EDFG$是正方形**：
连接$CD$。
因为$\triangle ABC$是等腰直角三角形，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$AC = BC = 4$，$D$是$AB$中点，根据等腰直角三角形三线合一性质，$CD = AD = BD$，$\angle A=\angle DCF = 45^{\circ}$，$CD\perp AB$。
又因为$AE = CF$，在$\triangle ADE$和$\triangle CDF$中，$\begin{cases}AD = CD\\\angle A=\angle DCF\\AE = CF\end{cases}$，根据$SAS$（边角边）定理，$\triangle ADE\cong\triangle CDF$。
所以$DE = DF$，$\angle ADE=\angle CDF$。
因为$\angle ADE+\angle CDE = 90^{\circ}$，所以$\angle CDF+\angle CDE=\angle EDF = 90^{\circ}$。
因为$O$是$EF$中点，$GO = DO$，所以四边形$EDFG$是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
又因为$DE = DF$，$\angle EDF = 90^{\circ}$，所以平行四边形$EDFG$是正方形（一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形）。
2. （2）**求四边形$EDFG$面积最小时$E$的位置及面积最小值**：
设$AE=x$，则$CF = x$，$CE=4 - x$。
在$Rt\triangle CEF$中，根据勾股定理$EF^{2}=CE^{2}+CF^{2}=(4 - x)^{2}+x^{2}$。
展开$(4 - x)^{2}+x^{2}=16-8x + x^{2}+x^{2}=2x^{2}-8x + 16$。
配方得$2x^{2}-8x + 16=2(x - 2)^{2}+8$。
因为四边形$EDFG$是正方形，其面积$S = DE^{2}$（正方形面积等于边长的平方），又因为$DE = DF$，$\angle EDF = 90^{\circ}$，$S=\frac{1}{2}EF^{2}$（正方形面积还可以用对角线乘积的一半表示，这里$EF$为正方形$EDFG$的对角线，$DE = DF$，$EF=\sqrt{2}DE$，$S = DE^{2}=\frac{1}{2}EF^{2}$）。
由$EF^{2}=2(x - 2)^{2}+8$，因为$2\gt0$，所以当$x = 2$时，$EF^{2}$取得最小值$8$。
此时$S=\frac{1}{2}×8 = 4$，即当$E$为$AC$中点时，四边形$EDFG$的面积最小，最小值为$4$。
综上，（1）已证得四边形$EDFG$是正方形；（2）当$E$为$AC$中点时，四边形$EDFG$面积最小，最小值为$4$。
连接$CD$。
因为$\triangle ABC$是等腰直角三角形，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$AC = BC = 4$，$D$是$AB$中点，根据等腰直角三角形三线合一性质，$CD = AD = BD$，$\angle A=\angle DCF = 45^{\circ}$，$CD\perp AB$。
又因为$AE = CF$，在$\triangle ADE$和$\triangle CDF$中，$\begin{cases}AD = CD\\\angle A=\angle DCF\\AE = CF\end{cases}$，根据$SAS$（边角边）定理，$\triangle ADE\cong\triangle CDF$。
所以$DE = DF$，$\angle ADE=\angle CDF$。
因为$\angle ADE+\angle CDE = 90^{\circ}$，所以$\angle CDF+\angle CDE=\angle EDF = 90^{\circ}$。
因为$O$是$EF$中点，$GO = DO$，所以四边形$EDFG$是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
又因为$DE = DF$，$\angle EDF = 90^{\circ}$，所以平行四边形$EDFG$是正方形（一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形）。
2. （2）**求四边形$EDFG$面积最小时$E$的位置及面积最小值**：
设$AE=x$，则$CF = x$，$CE=4 - x$。
在$Rt\triangle CEF$中，根据勾股定理$EF^{2}=CE^{2}+CF^{2}=(4 - x)^{2}+x^{2}$。
展开$(4 - x)^{2}+x^{2}=16-8x + x^{2}+x^{2}=2x^{2}-8x + 16$。
配方得$2x^{2}-8x + 16=2(x - 2)^{2}+8$。
因为四边形$EDFG$是正方形，其面积$S = DE^{2}$（正方形面积等于边长的平方），又因为$DE = DF$，$\angle EDF = 90^{\circ}$，$S=\frac{1}{2}EF^{2}$（正方形面积还可以用对角线乘积的一半表示，这里$EF$为正方形$EDFG$的对角线，$DE = DF$，$EF=\sqrt{2}DE$，$S = DE^{2}=\frac{1}{2}EF^{2}$）。
由$EF^{2}=2(x - 2)^{2}+8$，因为$2\gt0$，所以当$x = 2$时，$EF^{2}$取得最小值$8$。
此时$S=\frac{1}{2}×8 = 4$，即当$E$为$AC$中点时，四边形$EDFG$的面积最小，最小值为$4$。
综上，（1）已证得四边形$EDFG$是正方形；（2）当$E$为$AC$中点时，四边形$EDFG$面积最小，最小值为$4$。
(3)点 $P$ 在直线 $DE$ 上，且 $\triangle PEF$ 为等腰三角形，则点 $P$ 的坐标为
$(2\sqrt{5},4\sqrt{5}+2)$或$(-2\sqrt{5},-4\sqrt{5}+2)$或$(2.5,7)$或$(8,18)$
。
答案：
(1)点F的坐标为$(8,8)$.
(2)存在,理由略.当$S_{\triangle QDE}=S_{\triangle CDE}$时,点Q的坐标为$(-6,0),(4,0)$.
(3)$(2\sqrt{5},4\sqrt{5}+2)$或$(-2\sqrt{5},-4\sqrt{5}+2)$或$(2.5,7)$或$(8,18)$
(1)点F的坐标为$(8,8)$.
(2)存在,理由略.当$S_{\triangle QDE}=S_{\triangle CDE}$时,点Q的坐标为$(-6,0),(4,0)$.
(3)$(2\sqrt{5},4\sqrt{5}+2)$或$(-2\sqrt{5},-4\sqrt{5}+2)$或$(2.5,7)$或$(8,18)$
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