《2025年全效学习学业评价方案九年级数学上册北师大版》

2. 对于实数 $ a , b $ 定义运算“☆”如下：$ a $☆$ b = a b ^ { 2 } - a b $.例如，$ 3 $☆$ 2 = 3 × 2 ^ { 2 } - 3 × 2 = 6 $.则方程 $ 1 $☆$ x = 2 $ 的根的情况为 (D)
A. 没有实数根
B. 只有一个实数根
C. 有两个相等的实数根
D. 有两个不相等的实数根

答案： D

3. 关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x ^ { 2 } - 6 x + m = 0 $ 有两个不相等的实数根，则 $ m $ 的值可能是 (A)
A. 8
B. 9
C. 10
D. 11

答案： A

4. 若一元二次方程 $ x ^ { 2 } + b x + c = 0 $（$ b , c $ 为常数）的两根 $ x _ { 1 } , x _ { 2 } $ 满足 $ - 3 ＜ x _ { 1 } ＜ - 1 $，$ 1 ＜ x _ { 2 } ＜ 3 $，则符合条件的一个方程为$x^{2}-2=0$.

答案： $x^{2}-2=0$(答案不唯一)

5. 若关于 $ x $ 的方程 $ ( 1 - m ^ { 2 } ) x ^ { 2 } + 2 m x - 1 = 0 $ 的所有根都是比 1 小的正实数，则实数 $ m $ 的取值范围是$m=1$或$m＞2$.

答案： $m=1$或$m＞2$

6. 解一元二次方程：
(1) $ 2 x ^ { 2 } - 4 x + 1 = 0 $（配方法）；
(2) $ x ^ { 2 } + 2 x - 2 = 0 $（公式法）；
(3) $ x ^ { 2 } - x = 2 x - 2 $（因式分解法）.

答案：
(1)$x_{1}=1+\frac {\sqrt {2}}{2},x_{2}=1-\frac {\sqrt {2}}{2}$
(2)$x_{1}=-1+\sqrt {3},x_{2}=-1-\sqrt {3}$
(3)$x_{1}=2,x_{2}=1$

7. [2023·盘山县期末]已知关于 $ x $ 的方程 $ x ^ { 2 } - 7 x + ( 12 - a ) = 0 $ 有两个不相等的实数根.
(1)求 $ a $ 的取值范围；
(2)当 $ a $ 取满足条件的最小整数值时，求方程的根.

答案：
(1)$a＞-\frac {1}{4}$
(2)$a=0,x_{1}=3,x_{2}=4.$

8. 已知关于 $ x $ 的方程 $ x ^ { 2 } - ( m + 3 ) x + 4 m - 4 = 0 $.
(1)求证：无论 $ m $ 取何值，这个方程总有实数根；
(2)若等腰三角形 $ A B C $ 的一边长 $ a = 5 $，另两边 $ b , c $ 的长度恰好是这个方程的两个根，求 $ \triangle A B C $ 的周长.

答案：
(1)略
(2)该三角形的周长是 13 或 14.