搜索
6. 已知$M=a^{2}-a$，$N=a-1$（$a$为任意实数），则$M$，$N$的大小关系为 （
A. $M＞N$
B. $M\geqslant N$
C. $M＜N$
D. $M\leqslant N$
B
）A. $M＞N$
B. $M\geqslant N$
C. $M＜N$
D. $M\leqslant N$
答案：
B
7. 求证：无论$x$，$y$为何值，$4x^{2}+12x+9y^{2}+30y+35$的值恒为正.
答案：
【解析】：
本题可通过配方法将原式转化为几个完全平方式与一个常数的和的形式，再根据完全平方式的非负性来判断原式的正负性。
- **步骤一：对原式进行配方**
将原式$4x^{2}+12x + 9y^{2}+30y + 35$进行变形可得：
$4x^{2}+12x + 9y^{2}+30y + 35=(4x^{2}+12x)+(9y^{2}+30y)+35$
分别对$4x^{2}+12x$和$9y^{2}+30y$进行配方：
对于$4x^{2}+12x$，可提出$4$得到$4(x^{2}+3x)$，再根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，在$x^{2}+3x$中$a = x$，$2ab = 3x$，则$b=\frac{3}{2}$，所以$x^{2}+3x=x^{2}+2× x×\frac{3}{2}$，那么$4(x^{2}+3x)=4(x^{2}+2× x×\frac{3}{2})=4(x^{2}+2× x×\frac{3}{2}+\frac{9}{4}-\frac{9}{4})=4((x + \frac{3}{2})^{2}-\frac{9}{4})=4(x + \frac{3}{2})^{2}-9$。
对于$9y^{2}+30y$，可提出$9$得到$9(y^{2}+\frac{10}{3}y)$，在$y^{2}+\frac{10}{3}y$中$a = y$，$2ab = \frac{10}{3}y$，则$b=\frac{5}{3}$，所以$y^{2}+\frac{10}{3}y=y^{2}+2× y×\frac{5}{3}$，那么$9(y^{2}+\frac{10}{3}y)=9(y^{2}+2× y×\frac{5}{3})=9(y^{2}+2× y×\frac{5}{3}+\frac{25}{9}-\frac{25}{9})=9((y + \frac{5}{3})^{2}-\frac{25}{9})=9(y + \frac{5}{3})^{2}-25$。
将上述结果代入原式可得：
$4x^{2}+12x + 9y^{2}+30y + 35=4(x + \frac{3}{2})^{2}-9 + 9(y + \frac{5}{3})^{2}-25 + 35=4(x + \frac{3}{2})^{2}+9(y + \frac{5}{3})^{2}+1$。
- **步骤二：根据完全平方式的非负性判断原式的正负性**
因为任何数的平方都为非负数，所以$(x + \frac{3}{2})^{2}\geqslant0$，$(y + \frac{5}{3})^{2}\geqslant0$。
那么$4(x + \frac{3}{2})^{2}\geqslant0$，$9(y + \frac{5}{3})^{2}\geqslant0$，所以$4(x + \frac{3}{2})^{2}+9(y + \frac{5}{3})^{2}+1\geqslant0 + 0 + 1 = 1\gt0$。
综上，无论$x$，$y$为何值，$4x^{2}+12x + 9y^{2}+30y + 35$的值恒为正。
【答案】：已证无论$x$，$y$为何值，$4x^{2}+12x + 9y^{2}+30y + 35$的值恒为正。
本题可通过配方法将原式转化为几个完全平方式与一个常数的和的形式，再根据完全平方式的非负性来判断原式的正负性。
- **步骤一：对原式进行配方**
将原式$4x^{2}+12x + 9y^{2}+30y + 35$进行变形可得：
$4x^{2}+12x + 9y^{2}+30y + 35=(4x^{2}+12x)+(9y^{2}+30y)+35$
分别对$4x^{2}+12x$和$9y^{2}+30y$进行配方：
对于$4x^{2}+12x$，可提出$4$得到$4(x^{2}+3x)$，再根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，在$x^{2}+3x$中$a = x$，$2ab = 3x$，则$b=\frac{3}{2}$，所以$x^{2}+3x=x^{2}+2× x×\frac{3}{2}$，那么$4(x^{2}+3x)=4(x^{2}+2× x×\frac{3}{2})=4(x^{2}+2× x×\frac{3}{2}+\frac{9}{4}-\frac{9}{4})=4((x + \frac{3}{2})^{2}-\frac{9}{4})=4(x + \frac{3}{2})^{2}-9$。
对于$9y^{2}+30y$，可提出$9$得到$9(y^{2}+\frac{10}{3}y)$，在$y^{2}+\frac{10}{3}y$中$a = y$，$2ab = \frac{10}{3}y$，则$b=\frac{5}{3}$，所以$y^{2}+\frac{10}{3}y=y^{2}+2× y×\frac{5}{3}$，那么$9(y^{2}+\frac{10}{3}y)=9(y^{2}+2× y×\frac{5}{3})=9(y^{2}+2× y×\frac{5}{3}+\frac{25}{9}-\frac{25}{9})=9((y + \frac{5}{3})^{2}-\frac{25}{9})=9(y + \frac{5}{3})^{2}-25$。
将上述结果代入原式可得：
$4x^{2}+12x + 9y^{2}+30y + 35=4(x + \frac{3}{2})^{2}-9 + 9(y + \frac{5}{3})^{2}-25 + 35=4(x + \frac{3}{2})^{2}+9(y + \frac{5}{3})^{2}+1$。
- **步骤二：根据完全平方式的非负性判断原式的正负性**
因为任何数的平方都为非负数，所以$(x + \frac{3}{2})^{2}\geqslant0$，$(y + \frac{5}{3})^{2}\geqslant0$。
那么$4(x + \frac{3}{2})^{2}\geqslant0$，$9(y + \frac{5}{3})^{2}\geqslant0$，所以$4(x + \frac{3}{2})^{2}+9(y + \frac{5}{3})^{2}+1\geqslant0 + 0 + 1 = 1\gt0$。
综上，无论$x$，$y$为何值，$4x^{2}+12x + 9y^{2}+30y + 35$的值恒为正。
【答案】：已证无论$x$，$y$为何值，$4x^{2}+12x + 9y^{2}+30y + 35$的值恒为正。
8. 求多项式$-x^{2}+4x-2$的最大值.
答案：
多项式$ -x^{2}+4x-2 $的最大值为 2.
9. 求多项式$P=a^{2}+2b^{2}+2a+4b+2027$的最小值.
答案：
多项式 P 的最小值为 2024.
10. 【项目学习】
把一个二次式通过添项或拆项的方法得到完全平方式，再利用“$M^{2}\geqslant 0$”这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法.
例：求$a^{2}+4a+5$的最小值.
解：$a^{2}+4a+5=a^{2}+4a+2^{2}-2^{2}+5=(a+2)^{2}+1$.
$\because (a+2)^{2}\geqslant 0$，$\therefore (a+2)^{2}+1\geqslant 1$，
$\therefore$当$(a+2)^{2}=0$时，即当$a=-2$时，$a^{2}+4a+5$有最小值，最小值为1.
【问题解决】
（1）当$x$为何值时，代数式$x^{2}-6x+7$有最小值，最小值为多少？
（2）如图1是一组邻边长分别为7，$2a+5$的矩形，其面积为$S_{1}$；图2是边长为$a+6$的正方形，面积为$S_{2}$，$a＞0$，请比较$S_{1}$与$S_{2}$的大小，并说明理由.
（3）如图3，某物业公司准备利用一面墙（墙足够长）和总长度为52米的栅栏（图中实线部分）围成一个长方形场地$ABCD$，且$CD$边上留两个1米宽的小门（用其他材料）. 设$BC$的长为$x$米，当$x$为何值时，长方形场地$ABCD$的面积最大？最大值是多少？
把一个二次式通过添项或拆项的方法得到完全平方式，再利用“$M^{2}\geqslant 0$”这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法.
例：求$a^{2}+4a+5$的最小值.
解：$a^{2}+4a+5=a^{2}+4a+2^{2}-2^{2}+5=(a+2)^{2}+1$.
$\because (a+2)^{2}\geqslant 0$，$\therefore (a+2)^{2}+1\geqslant 1$，
$\therefore$当$(a+2)^{2}=0$时，即当$a=-2$时，$a^{2}+4a+5$有最小值，最小值为1.
【问题解决】
（1）当$x$为何值时，代数式$x^{2}-6x+7$有最小值，最小值为多少？
（2）如图1是一组邻边长分别为7，$2a+5$的矩形，其面积为$S_{1}$；图2是边长为$a+6$的正方形，面积为$S_{2}$，$a＞0$，请比较$S_{1}$与$S_{2}$的大小，并说明理由.
（3）如图3，某物业公司准备利用一面墙（墙足够长）和总长度为52米的栅栏（图中实线部分）围成一个长方形场地$ABCD$，且$CD$边上留两个1米宽的小门（用其他材料）. 设$BC$的长为$x$米，当$x$为何值时，长方形场地$ABCD$的面积最大？最大值是多少？
答案：
$(1)$求代数式$x^{2}-6x + 7$的最小值
解：
$\begin{aligned}x^{2}-6x + 7&=x^{2}-6x+3^{2}-3^{2}+7\\&=(x - 3)^{2}-9 + 7\\&=(x - 3)^{2}-2\end{aligned}$
因为$(x - 3)^{2}\geqslant0$，所以$(x - 3)^{2}-2\geqslant-2$。
当$(x - 3)^{2}=0$，即$x = 3$时，$x^{2}-6x + 7$有最小值，最小值为$-2$。
$(2)$比较$S_{1}$与$S_{2}$的大小
已知$S_{1}=7(2a + 5)=14a+35$，$S_{2}=(a + 6)^{2}=a^{2}+12a + 36$。
则$S_{1}-S_{2}=14a + 35-(a^{2}+12a + 36)$
$\begin{aligned}S_{1}-S_{2}&=14a + 35-a^{2}-12a - 36\\&=-a^{2}+2a - 1\\&=-(a^{2}-2a + 1)\\&=-(a - 1)^{2}\end{aligned}$
因为$a\gt0$，$(a - 1)^{2}\geqslant0$，所以$-(a - 1)^{2}\leqslant0$，即$S_{1}-S_{2}\leqslant0$，所以$S_{1}\leqslant S_{2}$，当且仅当$a = 1$时，$S_{1}=S_{2}$。
$(3)$求长方形场地$ABCD$面积的最大值
已知$BC=x$米，因为栅栏总长度为$52$米，$CD$边上留两个$1$米宽的小门，所以$AB=(52 + 2-3x)$米，长方形面积$S = x(54 - 3x)$。
$\begin{aligned}S&=x(54 - 3x)\\&=-3x^{2}+54x\\&=-3(x^{2}-18x)\\&=-3(x^{2}-18x + 81-81)\\&=-3((x - 9)^{2}-81)\\&=-3(x - 9)^{2}+243\end{aligned}$
因为$-3\lt0$，所以当$x = 9$时，$S$有最大值，最大值为$243$平方米。
综上，答案依次为：$(1)$当$x = 3$时，最小值为$-2$；$(2)$$S_{1}\leqslant S_{2}$；$(3)$当$x = 9$时，面积最大，最大值是$243$平方米。
解：
$\begin{aligned}x^{2}-6x + 7&=x^{2}-6x+3^{2}-3^{2}+7\\&=(x - 3)^{2}-9 + 7\\&=(x - 3)^{2}-2\end{aligned}$
因为$(x - 3)^{2}\geqslant0$，所以$(x - 3)^{2}-2\geqslant-2$。
当$(x - 3)^{2}=0$，即$x = 3$时，$x^{2}-6x + 7$有最小值，最小值为$-2$。
$(2)$比较$S_{1}$与$S_{2}$的大小
已知$S_{1}=7(2a + 5)=14a+35$，$S_{2}=(a + 6)^{2}=a^{2}+12a + 36$。
则$S_{1}-S_{2}=14a + 35-(a^{2}+12a + 36)$
$\begin{aligned}S_{1}-S_{2}&=14a + 35-a^{2}-12a - 36\\&=-a^{2}+2a - 1\\&=-(a^{2}-2a + 1)\\&=-(a - 1)^{2}\end{aligned}$
因为$a\gt0$，$(a - 1)^{2}\geqslant0$，所以$-(a - 1)^{2}\leqslant0$，即$S_{1}-S_{2}\leqslant0$，所以$S_{1}\leqslant S_{2}$，当且仅当$a = 1$时，$S_{1}=S_{2}$。
$(3)$求长方形场地$ABCD$面积的最大值
已知$BC=x$米，因为栅栏总长度为$52$米，$CD$边上留两个$1$米宽的小门，所以$AB=(52 + 2-3x)$米，长方形面积$S = x(54 - 3x)$。
$\begin{aligned}S&=x(54 - 3x)\\&=-3x^{2}+54x\\&=-3(x^{2}-18x)\\&=-3(x^{2}-18x + 81-81)\\&=-3((x - 9)^{2}-81)\\&=-3(x - 9)^{2}+243\end{aligned}$
因为$-3\lt0$，所以当$x = 9$时，$S$有最大值，最大值为$243$平方米。
综上，答案依次为：$(1)$当$x = 3$时，最小值为$-2$；$(2)$$S_{1}\leqslant S_{2}$；$(3)$当$x = 9$时，面积最大，最大值是$243$平方米。
查看更多完整答案，请扫码查看
