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5. 如图，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，CE，DF相交于点G，连接AG.求证：
(1)$CE⊥DF;$
(2)$∠AGE=∠CDF.$
(1)$CE⊥DF;$
(2)$∠AGE=∠CDF.$
答案：
【解析】：
(1) 因为四边形$ABCD$是正方形，所以$AB = BC = CD$，$\angle B=\angle BCD = 90^{\circ}$。
又因为$E$，$F$分别是$AB$，$BC$的中点，所以$BE=\frac{1}{2}AB$，$CF = \frac{1}{2}BC$，则$BE = CF$。
在$\triangle CBE$和$\triangle DCF$中，$\begin{cases}BC = CD\\\angle B=\angle BCD\\BE = CF\end{cases}$，根据$SAS$（边角边）定理可得$\triangle CBE\cong\triangle DCF$。
所以$\angle BCE=\angle CDF$。
因为$\angle BCE+\angle DCE = 90^{\circ}$，所以$\angle CDF+\angle DCE = 90^{\circ}$，在$\triangle DGC$中，$\angle DGC=180^{\circ}-(\angle CDF+\angle DCE)=90^{\circ}$，即$CE\perp DF$。
(2) 延长$CE$，$DA$交于点$M$。
因为$E$是$AB$的中点，$AB// CD$，所以$\angle MAE=\angle B = 90^{\circ}$，$\angle M=\angle BCE$。
在$\triangle AEM$和$\triangle BEC$中，$\begin{cases}\angle MAE=\angle B\\\angle M=\angle BCE\\AE = BE\end{cases}$，根据$AAS$（角角边）定理可得$\triangle AEM\cong\triangle BEC$，所以$AM = BC$。
因为$BC = AD$，所以$AM = AD$。
又因为$CE\perp DF$，所以$AG = AM = AD$，则$\angle M=\angle AGE$。
由
(1)知$\angle M=\angle BCE=\angle CDF$，所以$\angle AGE=\angle CDF$。
【答案】：
(1) 证明见上述解析，证得$CE\perp DF$。
(2) 证明见上述解析，证得$\angle AGE=\angle CDF$。
(1) 因为四边形$ABCD$是正方形，所以$AB = BC = CD$，$\angle B=\angle BCD = 90^{\circ}$。
又因为$E$，$F$分别是$AB$，$BC$的中点，所以$BE=\frac{1}{2}AB$，$CF = \frac{1}{2}BC$，则$BE = CF$。
在$\triangle CBE$和$\triangle DCF$中，$\begin{cases}BC = CD\\\angle B=\angle BCD\\BE = CF\end{cases}$，根据$SAS$（边角边）定理可得$\triangle CBE\cong\triangle DCF$。
所以$\angle BCE=\angle CDF$。
因为$\angle BCE+\angle DCE = 90^{\circ}$，所以$\angle CDF+\angle DCE = 90^{\circ}$，在$\triangle DGC$中，$\angle DGC=180^{\circ}-(\angle CDF+\angle DCE)=90^{\circ}$，即$CE\perp DF$。
(2) 延长$CE$，$DA$交于点$M$。
因为$E$是$AB$的中点，$AB// CD$，所以$\angle MAE=\angle B = 90^{\circ}$，$\angle M=\angle BCE$。
在$\triangle AEM$和$\triangle BEC$中，$\begin{cases}\angle MAE=\angle B\\\angle M=\angle BCE\\AE = BE\end{cases}$，根据$AAS$（角角边）定理可得$\triangle AEM\cong\triangle BEC$，所以$AM = BC$。
因为$BC = AD$，所以$AM = AD$。
又因为$CE\perp DF$，所以$AG = AM = AD$，则$\angle M=\angle AGE$。
由
(1)知$\angle M=\angle BCE=\angle CDF$，所以$\angle AGE=\angle CDF$。
【答案】：
(1) 证明见上述解析，证得$CE\perp DF$。
(2) 证明见上述解析，证得$\angle AGE=\angle CDF$。
6. [2024·鹿城区开学]如图，在正方形ABCD中，E为BC边上的点，连接AE，作AE的垂直平分线交AB于点G，交CD于点F，连接GE.已知$\frac {BG}{BE}=\frac {3}{4}.$
(1)若正方形的边长为4，求BG的长；
(2)求证：$\frac {DF}{CF}=\frac {1}{7}.$
(1)若正方形的边长为4，求BG的长；
(2)求证：$\frac {DF}{CF}=\frac {1}{7}.$
答案：
1. （1）
设$BG = 3x$，因为$\frac{BG}{BE}=\frac{3}{4}$，所以$BE = 4x$。
因为$GF$是$AE$的垂直平分线，所以$AG = GE$。
已知正方形边长$AB = 4$，则$AG=AB - BG=4 - 3x$，$GE = 4 - 3x$。
在$Rt\triangle BGE$中，根据勾股定理$GE^{2}=BG^{2}+BE^{2}$，即$(4 - 3x)^{2}=(3x)^{2}+(4x)^{2}$。
展开式子：
$16-24x + 9x^{2}=9x^{2}+16x^{2}$。
移项可得$16x^{2}+24x - 16 = 0$，两边同时除以$8$得$2x^{2}+3x - 2 = 0$。
分解因式得$(2x - 1)(x + 2)=0$。
解得$x=\frac{1}{2}$或$x=-2$（边长不能为负舍去）。
所以$BG = 3x=\frac{3}{2}$。
2. （2）
证明：过点$F$作$FH\perp AB$于$H$。
因为四边形$ABCD$是正方形，所以$AB = BC = CD = DA$，$\angle B=\angle C=\angle D=\angle AHF = 90^{\circ}$，$FH = BC = AB$。
设$BG = 3a$，$BE = 4a$，则$GE=AG = AB - BG$，在$Rt\triangle BGE$中，$GE=\sqrt{BG^{2}+BE^{2}}=\sqrt{(3a)^{2}+(4a)^{2}} = 5a$，所以$AB=AG + BG=8a$。
因为$\angle AGE+\angle BGE = 90^{\circ}$，$\angle BGE+\angle BEG = 90^{\circ}$，所以$\angle AGE=\angle BEG$。
又因为$\angle B=\angle AHF = 90^{\circ}$，$FH = AB$，所以$\triangle ABE\cong\triangle FHG(AAS)$。
则$HG = BE = 4a$，$AH = AB - BH=AB - CF$，$DF = AH$。
因为$HG = BE = 4a$，$BG = 3a$，所以$AH=DF=a$，$CF=CD - DF=8a - a = 7a$。
所以$\frac{DF}{CF}=\frac{a}{7a}=\frac{1}{7}$。
综上，（1）$BG$的长为$\frac{3}{2}$；（2）证明如上。
设$BG = 3x$，因为$\frac{BG}{BE}=\frac{3}{4}$，所以$BE = 4x$。
因为$GF$是$AE$的垂直平分线，所以$AG = GE$。
已知正方形边长$AB = 4$，则$AG=AB - BG=4 - 3x$，$GE = 4 - 3x$。
在$Rt\triangle BGE$中，根据勾股定理$GE^{2}=BG^{2}+BE^{2}$，即$(4 - 3x)^{2}=(3x)^{2}+(4x)^{2}$。
展开式子：
$16-24x + 9x^{2}=9x^{2}+16x^{2}$。
移项可得$16x^{2}+24x - 16 = 0$，两边同时除以$8$得$2x^{2}+3x - 2 = 0$。
分解因式得$(2x - 1)(x + 2)=0$。
解得$x=\frac{1}{2}$或$x=-2$（边长不能为负舍去）。
所以$BG = 3x=\frac{3}{2}$。
2. （2）
证明：过点$F$作$FH\perp AB$于$H$。
因为四边形$ABCD$是正方形，所以$AB = BC = CD = DA$，$\angle B=\angle C=\angle D=\angle AHF = 90^{\circ}$，$FH = BC = AB$。
设$BG = 3a$，$BE = 4a$，则$GE=AG = AB - BG$，在$Rt\triangle BGE$中，$GE=\sqrt{BG^{2}+BE^{2}}=\sqrt{(3a)^{2}+(4a)^{2}} = 5a$，所以$AB=AG + BG=8a$。
因为$\angle AGE+\angle BGE = 90^{\circ}$，$\angle BGE+\angle BEG = 90^{\circ}$，所以$\angle AGE=\angle BEG$。
又因为$\angle B=\angle AHF = 90^{\circ}$，$FH = AB$，所以$\triangle ABE\cong\triangle FHG(AAS)$。
则$HG = BE = 4a$，$AH = AB - BH=AB - CF$，$DF = AH$。
因为$HG = BE = 4a$，$BG = 3a$，所以$AH=DF=a$，$CF=CD - DF=8a - a = 7a$。
所以$\frac{DF}{CF}=\frac{a}{7a}=\frac{1}{7}$。
综上，（1）$BG$的长为$\frac{3}{2}$；（2）证明如上。
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