《2025年全效学习学业评价方案九年级数学上册北师大版》

1. 已知关于x的方程$2x^{2}+kx - 1 = 0$.
(1)求证:方程有两个不相等的实数根;
(2)若方程一根为1,求另一根和k的值.

答案： $(1)$ 证明方程有两个不相等的实数根
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，其判别式$\Delta=b^{2}-4ac$。
在方程$2x^{2}+kx - 1 = 0$中，$a = 2$，$b = k$，$c = - 1$。
则$\Delta=k^{2}-4×2×(-1)$
$=k^{2}+8$。
因为$k^{2}\geqslant0$，所以$k^{2}+8＞0$，即$\Delta＞0$。
所以方程$2x^{2}+kx - 1 = 0$有两个不相等的实数根。
$(2)$ 求另一根和$k$的值
设方程的另一根为$x_{1}$。
步骤一：根据韦达定理求另一根$x_{1}$
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，若方程的两根为$x_{1}$和$x_{2}$，则$x_{1}\cdot x_{2}=\frac{c}{a}$。
已知$a = 2$，$c = - 1$，其中一根$x_{2}=1$，由$x_{1}\cdot x_{2}=\frac{c}{a}$可得：
$1× x_{1}=\frac{-1}{2}$，所以$x_{1}=-\frac{1}{2}$。
步骤二：根据韦达定理求$k$的值
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，若方程的两根为$x_{1}$和$x_{2}$，则$x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}$。
已知$a = 2$，$b = k$，$x_{1}=-\frac{1}{2}$，$x_{2}=1$，由$x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}$可得：
$-\frac{1}{2}+1=-\frac{k}{2}$
$\frac{1}{2}=-\frac{k}{2}$
两边同时乘以$2$得：$1=-k$，所以$k = - 1$。
综上，方程的另一根为$-\frac{1}{2}$，$k$的值为$-1$。

2. [2022秋·沈阳市月考]已知关于x的方程$2x^{2}-kx + 2 = 0$的一个解与方程$\frac{2x + 1}{1 - x}=4$的解相同.
(1)求k的值;
(2)求方程$2x^{2}-kx + 2 = 0$的另一个解.

答案：
(1)$k = 5$
(2)方程的另一个解为2。

3. 设$x_{1},x_{2}$是方程$x^{2}-x - 2023 = 0$的两个实数根,求$x_{1}^{3}+2024x_{2}-2023$的值.

答案： 2024

4. 已知关于x的一元二次方程$x^{2}+(2m + 1)x + m^{2}-1 = 0$有两个不相等的实数根.
(1)求m的取值范围;
(2)设$x_{1},x_{2}$是方程的两根,且$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{1}x_{2}-17 = 0$,求m的值.

答案：
(1)$m ＞ -\frac{5}{4}$
(2)$m = \frac{5}{3}$