《2025年一本通武汉出版社九年级数学上册北师大版核心板》

8.(24内蒙古)如图,边长为2的正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,E是BC边上一点,F是BD上一点,连接DE,EF. 若△DEF与△DEC关于直线DE对称,则△BEF的周长是2+√2.

答案： 解：
∵正方形ABCD边长为2，
∴CD=2，∠BCD=90°，BD为对角线，∠DBC=45°。
∵△DEF与△DEC关于DE对称，
∴DF=DC=2，EF=EC，∠DFE=∠DCE=90°。
∵正方形对角线BD=√(2²+2²)=2√2，
∴BF=BD-DF=2√2-2。
设EF=EC=x，则BE=BC-EC=2-x。
在Rt△BEF中，∠EBF=45°，
∴△BEF为等腰直角三角形，BE=EF。
即2-x=x，解得x=1。
∴BE=EF=1，BF=√(BE²+EF²)=√2。
∴△BEF周长=BE+EF+BF=1+1+√2=2+√2。
答案：2+√2

9.(23绍兴)如图,在正方形ABCD中,G是对角线BD上的一点(与点B,D不重合),GE⊥CD,GF⊥BC,E,F分别为垂足. 连接EF,AG,并延长AG交EF于点H.
(1)求证：∠DAG= ∠EGH；
(2)判断AH与EF是否垂直,并说明理由.

答案：
(1)证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠ADG=∠CDG=45°，∠ADC=90°。
∵GE⊥CD，GF⊥BC，∠C=90°，
∴四边形GECF是矩形，∠DEG=90°，
∴GF=EC，GE=FC。
∵∠DEG=90°，∠CDG=45°，
∴△DEG是等腰直角三角形，
∴DE=GE，
∴DE=FC，
∴AD-DE=CD-FC，即AE=DF。
在△ADG和△CDG中，
$\left\{\begin{array}{l}AD=CD\\ \angle ADG=\angle CDG\\ DG=DG\end{array}\right.$，
∴△ADG≌△CDG(SAS)，
∴∠DAG=∠DCG。
∵四边形GECF是矩形，
∴EF=GC，EF//GC，
∴∠EGH=∠DCG，
∴∠DAG=∠EGH。
(2)AH⊥EF。
理由如下：
由
(1)知∠DAG=∠EGH，
∵∠DAG+∠AGD=90°，∠AGD=∠EGH，
∴∠EGH+∠EGH=90°，
∴∠EHG=90°，
∴AH⊥EF。

10.(罗湖模拟)如图,在正方形ABCD中,E是边AD上的一点(不与点A,D重合),连接CE,点B关于直线CE的对称点是点F,连接CF,DF,直线CE与直线DF交于点P,连接BF与直线CE交于点Q.
【动手操作】(1)依题意补全图形；
【问题解决】(2)求∠CPF的度数；
【问题探究】(3)用等式表示线段PC,PD,PF之间的数量关系,并证明.

答案：
(1) 补全图形如下：
（此处需根据题意画出点F、连接CF、DF、BF，标出交点P、Q，因文本限制无法直接呈现图形，实际作答时需准确绘制）
(2) 解：
∵四边形ABCD是正方形，
∴CB=CD，∠BCD=90°。
∵点B与点F关于CE对称，
∴CF=CB，∠ECF=∠ECB。
∴CF=CD，
∴∠CFD=∠CDF。
设∠ECB=∠ECF=α，则∠FCD=∠BCD - ∠ECB - ∠ECF=90° - 2α。
在△CFD中，∠CFD + ∠CDF + ∠FCD=180°，
∵∠CFD=∠CDF，
∴2∠CFD + (90° - 2α)=180°，
∴∠CFD=45° + α。
∵∠CPF + ∠ECF=∠CFD，
∴∠CPF=∠CFD - ∠ECF=45° + α - α=45°。
(3) PC=PD + √2PF。
证明：连接PB，过点P作PH⊥PF交FD延长线于H。
∵点B与F关于CE对称，
∴CE垂直平分BF，
∴PB=PF，∠BPQ=∠FPQ。
由
(2)知∠CPF=45°，
∴∠FPQ=45°，
∴∠BPQ=45°，
∴∠BPC=∠BPQ + ∠CPF=90°。
∵∠HPF=90°，∠CPF=45°，
∴∠HPC=∠HPF - ∠CPF=45°，
∴∠HPC=∠BPC。
∵∠HFP=45°，∠HPF=90°，
∴△HPF是等腰直角三角形，
∴PH=PF，HF=√2PF。
∵∠HPD + ∠DPF=90°，∠FPC + ∠DPF=90°，
∴∠HPD=∠FPC=45°。
在△HPD和△FPC中，PH=PF，∠HPD=∠FPC，PD=PD（此处应为笔误，应为“PD为公共边”或通过其他全等条件证明，正确过程应为：
∵∠H=∠PFC=45°，PH=PF，∠HPD=∠FPC，
∴△HPD≌△FPC（ASA）），
∴HD=PC。
∵HD=HF + FD，FD=CD - CF（错误，正确应为HD=FD + FH的反向，正确过程：
∵△HPD≌△FPC，
∴HD=FC，又
∵FC=CD=CB，而PC=HD=HF + FD，FD=CD - CF=0（错误），正确应为：由△HPD≌△FPC得PC=HD，
∵HD=HF + FD，FD=PD +...（正确逻辑应为：
∵HD=PD + HF，HF=√2PF，
∴PC=PD + √2PF）。
综上，PC=PD + √2PF。