《2025年一本通武汉出版社九年级数学上册北师大版核心板》

(1)下面是用“平均数法”解方程$(x+2)(x+6)= 5$时写的解题过程.
解：原方程可变形,得
$[(x+4)-2][(x+4)+2]= 5$,
$(x+4)^{2}-2^{2}= 5$,
$(x+4)^{2}= 5+2^{2}$.
直接开平方并整理,得$x_{1}= -1$,$x_{2}= -7$.
上述过程中的“$□$”“$◯$”“$\star$”“$\otimes$”表示的数分别为______,______,______,______.

答案： 【解析】：
此题考查了利用“平均数法”解一元二次方程的技巧。
首先，我们需要找到一个数，使得$(x+2)$和$(x+6)$可以表示为该数的平均数加减某个差值的形式。
观察$(x+2)$和$(x+6)$，我们可以发现它们的平均数是$x+4$。
因此，我们可以将原方程$(x+2)(x+6)=5$变形为$[(x+4)-2][(x+4)+2]=5$，
即$(x+4)^{2} - 2^{2} = 5$，
进一步得到$(x+4)^{2} = 5 + 2^{2}$，
即$(x+4)^{2} = 9$。
接下来，对方程两边同时开平方，得到$x+4 = \pm 3$，
解得$x_{1} = -1$，$x_{2} = -7$。
根据这个解题过程，我们可以确定“$□$”“$◯$”“$\star$”“$\otimes$”分别表示的数。
【答案】：
$□$表示的数为$4$；
$◯$表示的数为$2$；
$\star$表示的数为$-1$；
$\otimes$表示的数为$-7$。

【牛刀小试】(2)请用“平均数法”解方程：$(x+3)(x-1)= 5$.

答案： 【解析】：
此题要求使用“平均数法”解一元二次方程。平均数法即通过将方程中的$x$项替换为$x=\text{平均数} + \text{偏差}$的形式，从而简化方程。对于方程$(x+3)(x-1)=5$，可以先将其展开得到$x^2 + 2x - 3 = 5$，即$x^2 + 2x - 8 = 0$。
接下来，我们找到$x$的平均数，即方程$x^2 + 2x - 8 = 0$中$x$项系数的一半，也就是$1$，并令$x = y - 1$，代入原方程进行求解。
【答案】：
解：
首先，将原方程$(x+3)(x-1)=5$展开并整理，得到
$x^2 + 2x - 8 = 0$
接着，我们使用平均数法，令$x = y - 1$，代入上式得：
$(y-1+3)(y-1-1) = 5$
即
$(y+2)(y-2) = 5$
展开得
$y^2 - 4 = 5$
从而
$y^2 = 9$
解得
$y = \pm 3$
将$y$的值代回$x = y - 1$，得到
$x = 3 - 1 = 2$
或
$x = -3 - 1 = -4$
所以，原方程的解为$x_{1} = 2, x_{2} = -4$。

【问题解决】(3)请用“平均数法”解方程：
①$(50-2x)(40-2x)= 936$；
②$(50-x)(40-2x)= 702$.

答案： ①解：
设$50 - 2x = a$，$40 - 2x = b$，则$a - b = 10$，$ab = 936$。
两式的平均数为$\frac{a + b}{2} = m$，则$a = m + 5$，$b = m - 5$。
代入$ab = 936$：$(m + 5)(m - 5) = 936$，即$m^2 - 25 = 936$，$m^2 = 961$，$m = ±31$。
当$m = 31$时：
$b = 31 - 5 = 26$，即$40 - 2x = 26$，解得$x = 7$；
当$m = -31$时：
$b = -31 - 5 = -36$，即$40 - 2x = -36$，解得$x = 38$。
综上，$x_1 = 7$，$x_2 = 38$。
②解：
设$50 - x = a$，$40 - 2x = b$，则$2a - b = 60$，$ab = 702$。
令$2a = m + 30$，$b = m - 30$，则$a = \frac{m + 30}{2}$。
代入$ab = 702$：$\frac{m + 30}{2} \cdot (m - 30) = 702$，即$(m^2 - 900) = 1404$，$m^2 = 2304$，$m = ±48$。
当$m = 48$时：
$a = \frac{48 + 30}{2} = 39$，即$50 - x = 39$，解得$x = 11$；
当$m = -48$时：
$a = \frac{-48 + 30}{2} = -9$，即$50 - x = -9$，解得$x = 59$。
综上，$x_1 = 11$，$x_2 = 59$。