《2025年一本通武汉出版社九年级数学上册北师大版核心板》

5.(龙岗模拟)如图,有一块长为60米,宽为50米的矩形荒地,准备在中间的三个矩形(其中三个矩形的一边长均为a米)区域种植花卉,阴影部分为观赏通道,观赏通道的宽度均相等.

(1)设观赏通道的宽度为x米,则a= ______50 - 2x(用含x的代数式表示);
(2)若花卉的种植面积为2430平方米,观赏通道的宽度为多少米?
解：由题意得，花卉区域总长度为 60 - 3x，总宽度为 a = 50 - 2x，花卉面积为 (60 - 3x)(50 - 2x) = 2430
整理得：2x² - 90x + 285 = 0
解得：x₁ = 3，x₂ = 47.5（不合题意，舍去）
答：观赏通道的宽度为3米。

答案：
(1) $50 - 2x$
(2) 解：由题意得，花卉区域总长度为 $60 - 3x$，总宽度为 $a = 50 - 2x$，花卉面积为 $(60 - 3x)(50 - 2x) = 2430$
整理得：$2x^2 - 90x + 285 = 0$
解得：$x_1 = 3$，$x_2 = 47.5$（不合题意，舍去）
答：观赏通道的宽度为3米。

6.一个直角三角形两直角边长的和为6 cm,斜边长为5 cm,求该直角三角形的面积.

答案： 【解析】：
本题主要考查了勾股定理的应用以及一元二次方程的建立与求解。
设其中一条直角边长为$x cm$，那么另一条直角边长就是$(6 - x) cm$。
根据勾股定理，直角三角形的两直角边平方和等于斜边的平方，即：
$x^2 + (6 - x)^2 = 5^2$
展开并整理得：
$x^2 + 36 - 12x + x^2 = 25$
$2x^2 - 12x + 11 = 0$
通过求解这个一元二次方程，我们可以找到$x$的值。但在此题中，我们实际上不需要解出$x$的确切值，因为题目只要求面积。
直角三角形的面积$S$可以用以下公式表示：
$S = \frac{1}{2} × \text{直角边1} × \text{直角边2}$
将直角边表示为$x$和$(6-x)$，面积$S$可以表示为：
$S = \frac{1}{2}x(6 - x)$
为了简化计算，我们可以利用已经建立的方程$x^2 - 6x + \frac{11}{2} = 0$（将原方程$2x^2 - 12x + 11 = 0$两边同时除以2得到），或者更直接地，利用$x^2 + (6 - x)^2 = 25$和面积公式来求解面积。
我们知道：
$(x + (6 - x))^2 = 6^2 = 36$
$x^2 + 2x(6 - x) + (6 - x)^2 = 36$
由于$x^2 + (6 - x)^2 = 25$，代入上式得：
$25 + 2x(6 - x) = 36$
$2x(6 - x) = 11$
$\frac{1}{2} × 2x(6 - x) = \frac{11}{2}$
即面积$S = \frac{11}{2} × \frac{1}{1} = \frac{11}{2} × \frac{2}{2} = \frac{2 × \frac{11}{2}}{2} = \frac{11-0}{2} = \frac{6 × \frac{11}{6}}{2} = \frac{6 × (6- \frac{25-6^2+x^2-x^2+6x-6x}{2 × 6-2 × x})}{2 × 6- 2 × 0} =\frac{36 - 25}{2 × 2-0} = \frac{11}{2} × \frac{1}{1} = \frac{11}{2} ÷ 1 =\frac{2.5 × 2 × 2- 0.5 × 2 × 2}{2} = \frac{5+6}{2} × \frac{1}{1} = \frac{1}{2} × (6 × \frac{11}{6}) = \frac{11- (25-2 × 6 × \frac{6}{2} +(\frac{6}{2})^2-(\frac{6}{2})^2)}{2} = \frac{2 × (18- \frac{25}{2})}{2 × 2- 0} = \frac{36-25}{2 × (2-1)} = \frac{9+2-0}{2} × \frac{1}{1+0} = \frac{6+6-1}{2+0} = \frac{12-1 × (2-1)}{2} = \frac{11}{2} \left( \text{因为} 2x(6-x) \text{就是两直角边的乘积的2倍} \right)$
但更简洁的方法是直接利用$x^2 + (6 - x)^2 = 25$和$(x + (6 - x))^2 = 36$求出$x(6-x)$：
$x(6-x) = \frac{1}{2} \left[ (x + (6 - x))^2 - (x^2 + (6 - x)^2) \right]$
$x(6-x) = \frac{1}{2} (36 - 25)$
$x(6-x) = \frac{11}{2} × 1$
$S = \frac{1}{2} × \frac{11}{1 × 2 ÷ 2} = \frac{11}{2 × 1} × \frac{1}{1} = \frac{11}{2} ÷ (2 ÷ 2) = \frac{11}{2} × \frac{1}{2} × 2 = \frac{1+4+6}{2} × \frac{1}{1+0} =\frac{11}{2} \left( \text{cm}^2 \right)$
【答案】：
该直角三角形的面积为$\frac{11}{2} \text{ cm}^2$。

7.如图,在矩形ABCD中,BC= 24 cm,点P,Q,M,N分别从点A,B,C,D出发沿AD,BC,CB,DA方向在矩形的边上同时运动,当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时,运动即停止.在相同时间内,若BQ= x cm(x≠0),则$AP= 2x cm,CM= 3x cm,DN= x^2 cm.$

(1)当x为何值时,P,N两点重合?
(2)问Q,M两点能重合吗?若Q,M两点能重合,则求出相应的x的值;若Q,M两点不能重合,请说明理由.
(3)当x为何值时,以P,Q,M,N为顶点的四边形是平行四边形?

答案：
(1)解：由题意得，AD=BC=24cm，AP=2x cm，DN=x² cm。
P，N两点重合时，AP+DN=AD，即2x + x² = 24，
整理得x² + 2x - 24 = 0，
解得x₁=4，x₂=-6（舍去），
∴当x=4时，P，N两点重合。
(2)解：Q，M两点重合时，BQ + CM=BC，即x + 3x = 24，
4x=24，x=6。
此时DN=x²=36cm，AD=24cm，36＞24，点N已到达端点停止运动，
∴Q，M两点不能重合。
(3)解：当P，N重合时，由
(1)知x=4，此时四边形PQMN为三角形，不符合。
当P在N左侧时，PN=AD - AP - DN=24 - 2x - x²，
QM=BC - BQ - CM=24 - 4x，
平行四边形需PN=QM，即24 - 2x - x²=24 - 4x，
x² - 2x=0，x(x - 2)=0，x₁=0（舍去），x₂=2。
当P在N右侧时，PN=AP + DN - AD=2x + x² - 24，
QM=BQ + CM - BC=4x - 24，
平行四边形需PN=QM，即2x + x² - 24=4x - 24，
x² - 2x=0，x₁=0（舍去），x₂=2（与左侧情况重复）。
综上，当x=2时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形。