《2025年一本通武汉出版社九年级数学上册北师大版核心板》

2.【课本再现】(1)把两个全等的矩形ABCD和矩形CEFG拼成如图1的图案,则$∠ACF$的度数是45°.
【迁移应用】(2)如图2,在正方形ABCD中,E是CD边上一点(不与点C,D重合),连接BE,将BE绕点E顺时针旋转$90^{\circ }$至FE,作射线FD交BC的延长线于点G,求证:$CG=BC.$
证明：过点F作FH⊥CD交CD延长线于H。
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ BC=CD，∠BCE=90°。
∵ BE绕点E顺时针旋转90°至FE，
∴ BE=FE，∠BEF=90°。
∴ ∠BEC+∠FEH=90°，又∠BEC+∠EBC=90°，
∴ ∠EBC=∠FEH。
在△BCE和△EHF中，
∠EBC=∠FEH，∠BCE=∠EHF=90°，BE=FE，
∴ △BCE≌△EHF(AAS)。
∴ BC=EH，CE=FH。
∵ BC=CD，
∴ EH=CD，
∴ CH=DE。
∵ FH=CE，∠FHD=∠GCD=90°，∠FDH=∠GDC，
∴ △FDH≌△GDC(AAS)。
∴ DH=CD，
∴ CG=FH=CE。
又
∵ EH=BC=CD=CE+ED，EH=ED+DH，
∴ DH=CE=CG。
∵ CD=BC，DH=CD，
∴ CG=BC。
【拓展延伸】(3)在菱形ABCD中,$∠A=120^{\circ }$,E是CD边上一点(不与点C,D重合),连接BE,将BE绕点E顺时针旋转$120^{\circ }$至FE,作射线FD交BC的延长线于点G.
①线段CG与BC的数量关系是CG=BC;
②若$AB=12$,E是CD的三等分点,则$\triangle CEG$的面积是当CE=4时，面积为24√3；当CE=8时，面积为48√3.

答案：
(1) 45°
(2) 证明：过点F作FH⊥CD交CD延长线于H。
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ BC=CD，∠BCE=90°。
∵ BE绕点E顺时针旋转90°至FE，
∴ BE=FE，∠BEF=90°。
∴ ∠BEC+∠FEH=90°，又∠BEC+∠EBC=90°，
∴ ∠EBC=∠FEH。
在△BCE和△EHF中，
∠EBC=∠FEH，∠BCE=∠EHF=90°，BE=FE，
∴ △BCE≌△EHF(AAS)。
∴ BC=EH，CE=FH。
∵ BC=CD，
∴ EH=CD，
∴ CH=DE。
∵ FH=CE，∠FHD=∠GCD=90°，∠FDH=∠GDC，
∴ △FDH≌△GDC(AAS)。
∴ DH=CD，
∴ CG=FH=CE。
又
∵ EH=BC=CD=CE+ED，EH=ED+DH，
∴ DH=CE=CG。
∵ CD=BC，DH=CD，
∴ CG=BC。
(3) ① CG=BC
② 当CE=4时，面积为24√3；当CE=8时，面积为48√3。