《2025年一本通武汉出版社九年级数学上册北师大版核心板》

2.在学习了图形的相似后,老师组织同学们以“探究相似基本模型”为主题的数学活动.对三角形的相似进行了深入研究.
【拓展探究】如图1,在$\triangle ABC$中,$\angle ACB= 90^\circ$,$CD\perp AB$,垂足为D.这是我们比较熟悉的一个相似基本模型.
(1)易知：在$\triangle ABC和\triangle ACD$中,由$\angle ACB= \angle ADC= 90^\circ$,$\angle A = \angle A$,证得$\triangle ABC\backsim\triangle ACD$,可得出$\frac{AC}{AD}= $$\frac{AB}{AC}$,进而得到$AC^2= AD\cdot AB$.
(2)如图2,F为线段CD上一点,作射线AF,并在射线AF上取点E,连接CE,使$\angle AEC= \angle ACD$.
①此时可证$\triangle ACF\backsim\triangle AEC$,进而得出$AC^2= $$AF \cdot AE$；
②猜想$\triangle AEB$是直角三角形,直接利用(1)和(2)的①问中所得结论证明你的猜想.
【探索应用】如图3,$\triangle ABC$是直角三角形,$\angle ACB= 90^\circ$,线段AC绕点A顺时针旋转得到线段AD,连接CD并延长至点E,且使$\angle CEB= \angle CBD$.
(3)线段AC绕点A顺时针旋转一周的过程中,若$AC= 2$,$BC= 5$,线段CE长度的最小值为$\sqrt{29} - 2$

答案：
(1) $\angle A = \angle A$；$\frac{AB}{AC}$
(2) ① $AF \cdot AE$
② 直角
证明：由
(1)得$AC^2 = AD \cdot AB$，由①得$AC^2 = AF \cdot AE$，
$\therefore AD \cdot AB = AF \cdot AE$，即$\frac{AD}{AF} = \frac{AE}{AB}$。
$\because \angle DAF = \angle EAB$，$\therefore \triangle ADF \backsim \triangle AEB$。
$\because CD \perp AB$，$\therefore \angle ADF = 90^\circ$，$\therefore \angle AEB = 90^\circ$，即$\triangle AEB$是直角三角形。
(3) $\sqrt{29} - 2$