《2025年一本通武汉出版社九年级数学上册北师大版核心板》

1. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle ABC$的平分线BD交AC于点D,过点D作$DE // AB$交BC于点E,$AB= 5$,$BE= 3$,求CE的长.

答案： 解：
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD．
∵DE//AB，
∴∠ABD=∠BDE，∠CDE=∠A，∠CED=∠CBA．
∴∠CBD=∠BDE，
∴DE=BE=3．
∵∠CDE=∠A，∠CED=∠CBA，
∴△CDE∽△CAB．
∴$\frac{DE}{AB}=\frac{CE}{CB}$．
设CE=x，则CB=CE+BE=x+3．
∵DE=3，AB=5，
∴$\frac{3}{5}=\frac{x}{x+3}$．
解得x=$\frac{9}{2}$．
经检验，x=$\frac{9}{2}$是原方程的解．
∴CE的长为$\frac{9}{2}$．

2. 如图,在$□ ABCD$中,AC,BD交于点O,$BC= 18$,$OE= 2$,$BO= 4$,求AF的长.

答案： 解：
∵ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
∴ $AD // BC$，$AD = BC = 18$，$AO = OC$。
∵ $AD // BC$，
∴ $\angle OAF = \angle OCE$，$\angle OFA = \angle OEC$。
在 $\triangle AOF$ 和 $\triangle COE$ 中，
$\begin{cases}\angle OAF = \angle OCE \\\angle OFA = \angle OEC \\AO = CO\end{cases}$
∴ $\triangle AOF \cong \triangle COE$（AAS），
∴ $OE = OF = 2$。
∵ $AD // BC$，
∴ $\triangle DEF \sim \triangle CEB$，
∴ $\frac{DF}{BC} = \frac{EF}{EB}$。
∵ $BO = 4$，$OE = 2$，
∴ $EB = BO + OE = 6$，$EF = OF + OE = 4$。
∴ $\frac{DF}{18} = \frac{4}{6}$，解得 $DF = 12$。
∴ $AF = AD - DF = 18 - 12 = 6$。
答案：$AF = 6$。

3. 如图,在$□ ABCD$中,点E是AB的中点,在AD上截取$2AF= FD$,EF交AC于点G,求$\frac{AG}{GC}$的值.

答案： 解：过点F作FH//AB交AC于点H，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB//CD，AD=BC，AB=CD.
∵FH//AB，
∴△AFH∽△ADC，
∵2AF=FD，
∴AF=1/3AD，
∴AH/AC=AF/AD=1/3，即AH=1/3AC，FH=1/3CD=1/3AB.
∵点E是AB的中点，
∴AE=1/2AB，
∵FH//AB，
∴△FGH∽△EGA，
∴HG/AG=FH/AE=(1/3AB)/(1/2AB)=2/3，
设AG=3k，则HG=2k，
∵AH=AG+HG=5k=1/3AC，
∴AC=15k，
∴GC=AC-AG=15k-3k=12k，
∴AG/GC=3k/12k=1/4.