《2025年一本通武汉出版社九年级数学上册北师大版核心板》

4.【温故知新】(1)如图1,在正方形ABCD中,E是AD的中点,F是CD上一点,且$CF= 3DF$,图中有哪几对相似三角形？把它们表示出来,并说明理由.
①小华很快找出$\triangle ABE\backsim\triangle DEF$,他的思路为：设正方形的边长$AB= 4a$,则$AE= DE= 2a$,$DF= a$,利用“两边分别成比例且夹角相等的两个三角形相似”即可证明,请你结合小华的思路写出证明过程；
②小丽发现图中的相似三角形共有三对,而且可以借助于$\triangle ABE与\triangle DEF中的比例线段来证明\triangle EBF$与它们都相似.请你根据小丽的发现证明其中的一对三角形相似.
【拓展创新】(2)如图2,在矩形ABCD中,E为AD的中点,$EF\perp EC$交AB于点F,连接FC,其中$AB＞AE$.
①求证：$\triangle AEF\backsim\triangle ECF$；
②设$BC= 2$,$AB= a$,是否存在a值,使得$\triangle AEF与\triangle BFC$相似？若存在,请求出a的值；若不存在,请说明理由.

答案： 【温故知新】
(1)①证明：设正方形边长$AB=4a$，则$AD=CD=4a$。
∵$E$是$AD$中点，
∴$AE=DE=2a$。
∵$CF=3DF$，$CF+DF=CD=4a$，
∴$DF=a$，$CF=3a$。
在$\triangle ABE$和$\triangle DEF$中：
$\frac{AE}{DF}=\frac{2a}{a}=2$，$\frac{AB}{DE}=\frac{4a}{2a}=2$，
∴$\frac{AE}{DF}=\frac{AB}{DE}$。
又
∵$\angle A=\angle D=90^\circ$，
∴$\triangle ABE\backsim\triangle DEF$（两边成比例且夹角相等）。
②证明：$\triangle ABE\backsim\triangle EBF$。
由①得$\triangle ABE\backsim\triangle DEF$，
∴$\angle ABE=\angle DEF$，$\frac{BE}{EF}=\frac{AB}{DE}=2$。
∵$\angle AEB+\angle ABE=90^\circ$，$\angle AEB+\angle DEF=90^\circ$，
∴$\angle BEF=90^\circ=\angle A$。
在$\triangle ABE$和$\triangle EBF$中：
$\angle A=\angle BEF=90^\circ$，$\frac{AB}{BE}=\frac{4a}{2\sqrt{5}a}=\frac{2}{\sqrt{5}}$，$\frac{BE}{BF}=\frac{2\sqrt{5}a}{5a}=\frac{2}{\sqrt{5}}$（计算得$BE=2\sqrt{5}a$，$EF=\sqrt{5}a$，$BF=5a$），
∴$\triangle ABE\backsim\triangle EBF$（两边成比例且夹角相等）。
同理可证$\triangle EBF\backsim\triangle DEF$，故三对相似三角形为：$\triangle ABE\backsim\triangle DEF$，$\triangle ABE\backsim\triangle EBF$，$\triangle EBF\backsim\triangle DEF$。
【拓展创新】
(2)①证明：
∵$EF\perp EC$，
∴$\angle FEC=90^\circ$，$\angle AEF+\angle DEC=90^\circ$。
∵矩形$ABCD$中$\angle A=\angle D=90^\circ$，
∴$\angle DEC+\angle DCE=90^\circ$，
∴$\angle AEF=\angle DCE$。
∴$\triangle AEF\backsim\triangle DCE$（两角相等），
∴$\frac{EF}{EC}=\frac{AE}{DC}$。
设$AE=DE=x$，$DC=AB=a$，则$\frac{EF}{EC}=\frac{x}{a}$。
在$\triangle AEF$和$\triangle ECF$中：$\angle AEF=\angle ECF$（已证），$\angle A=\angle FEC=90^\circ$，
∴$\triangle AEF\backsim\triangle ECF$（两角相等）。
②存在，$a=2\sqrt{3}$。
解：设$AE=DE=1$（$BC=2$），$AF=m$，则$BF=a-m$。
由$\triangle AEF\backsim\triangle DCE$得$\frac{AF}{DE}=\frac{AE}{DC}$，即$\frac{m}{1}=\frac{1}{a}$，
∴$m=\frac{1}{a}$。
若$\triangle AEF\backsim\triangle BFC$，则$\frac{AF}{BC}=\frac{AE}{BF}$（对应边成比例），
即$\frac{\frac{1}{a}}{2}=\frac{1}{a-\frac{1}{a}}$，解得$a=2\sqrt{3}$（负值舍去）。
答案：
(1)①$\triangle ABE\backsim\triangle DEF$；②三对相似三角形：$\triangle ABE\backsim\triangle DEF$，$\triangle ABE\backsim\triangle EBF$，$\triangle EBF\backsim\triangle DEF$；
(2)①证明见上；②存在，$a=2\sqrt{3}$。