《2025年一本通武汉出版社九年级数学上册北师大版核心板》

1. 在综合与实践课上,老师让同学们以“图形的旋转”为主题开展数学探索活动. 在矩形ABCD中,AB= 6,BC= 3,以点A为旋转中心,逆时针旋转矩形ABCD,旋转角为α(0°＜α＜180°),得到矩形AEFG,点B,C,D的对应点分别为点E,F,G.
【初步感知】(1)如图1,当点E落在DC边上时,线段DE的长度为3；
【迁移探究】(2)如图2,当点E落在线段CF上时,AE与DC相交于点H,连接AC,求线段DH的长度；
解：在矩形ABCD中，AB=6，BC=3，∠D=∠B=∠BCD=90°，AD=BC=3，CD=AB=6。
由旋转得：AE=AB=6，∠AEF=∠B=90°，EF=BC=3，FG=AB=6。
∵点E落在线段CF上，∴∠AEC=∠AEF=90°。
设DH=x，则CH=CD-DH=6-x。
∵∠D=∠AEC=90°，∠AHD=∠CHE，∴△AHD∽△CHE。
∴$\frac{AD}{CE}=\frac{DH}{HE}=\frac{AH}{CH}$，即$\frac{3}{CE}=\frac{x}{HE}=\frac{AH}{6-x}$。
设CE=3k，则HE=xk，AH=(6-x)k。
在Rt△AEC中，AE²+CE²=AC²，AC=$\sqrt{AB²+BC²}=\sqrt{6²+3²}=3\sqrt{5}$，
∴6²+(3k)²=(3$\sqrt{5}$)²，解得k=1（k=-1舍），∴CE=3，HE=x，AH=6-x。
在Rt△AHD中，AD²+DH²=AH²，即3²+x²=(6-x)²，解得x=$\frac{9}{4}$，∴DH=$\frac{9}{4}$。
【拓展应用】(3)如图3,设点P在边FG上,且PG= 2,连接PB,PE,BE,在矩形ABCD旋转过程中,△BEP的面积存在最大值,这个最大值为$\frac{39}{2}$.

答案：
(1) 3
(2) 解：在矩形ABCD中，AB=6，BC=3，∠D=∠B=∠BCD=90°，AD=BC=3，CD=AB=6。
由旋转得：AE=AB=6，∠AEF=∠B=90°，EF=BC=3，FG=AB=6。
∵点E落在线段CF上，
∴∠AEC=∠AEF=90°。
设DH=x，则CH=CD-DH=6-x。
∵∠D=∠AEC=90°，∠AHD=∠CHE，
∴△AHD∽△CHE。
∴$\frac{AD}{CE}=\frac{DH}{HE}=\frac{AH}{CH}$，即$\frac{3}{CE}=\frac{x}{HE}=\frac{AH}{6-x}$。
设CE=3k，则HE=xk，AH=(6-x)k。
在Rt△AEC中，AE²+CE²=AC²，AC=$\sqrt{AB²+BC²}=\sqrt{6²+3²}=3\sqrt{5}$，
∴6²+(3k)²=(3$\sqrt{5}$)²，解得k=1（k=-1舍），
∴CE=3，HE=x，AH=6-x。
在Rt△AHD中，AD²+DH²=AH²，即3²+x²=(6-x)²，解得x=$\frac{9}{4}$，
∴DH=$\frac{9}{4}$。
(3) $\frac{39}{2}$