《2025年一本通武汉出版社九年级数学上册北师大版核心板》

3. 【定义图形】如图1,在四边形ABCD中,M,N分别是边AD,BC的中点,连接MN。若MN两侧的图形面积相等,则称MN为四边形ABCD的“对中平分线”。
【提出问题】有对中平分线的四边形具有怎样的性质呢？
【分析问题】(1)如图2,MN为四边形ABCD的“对中平分线”,连接AN,DN,由M为AD的中点,已知△AMN与△DMN的面积相等,则AD,BC有怎样的位置关系呢？请说明理由。
(1)解：AD//BC。理由如下：
∵M为AD中点，∴S_△AMN=S_△DMN。
∵MN为对中平分线，∴S_ABNM=S_CDMN，
∴S_ABNM-S_△AMN=S_CDMN-S_△DMN，即S_△ABN=S_△DCN。
∵N为BC中点，∴BN=CN。
设△ABN和△DCN的BN、CN边上的高分别为h₁、h₂，则$\frac{1}{2}$BN·h₁=$\frac{1}{2}$CN·h₂，∴h₁=h₂。
∵h₁、h₂是AD上两点到BC的距离，∴AD//BC。
(2)在(1)的基础上,小明给出了下列三个命题,其中假命题是 ②③。(填序号)
①若MN//AB,则四边形ABCD是平行四边形；
②若MN= AB,则四边形ABCD是菱形；
③若MN⊥BC,则四边形ABCD是矩形。
【深入探究】(3)如图3,四边形ABCD有两条“对中平分线”,分别是MN,EF,且相交于点O。若MN= EF,清探索四边形ABCD的形状,并说明理由。
(3)解：四边形ABCD是矩形。理由如下：
由(1)知AD//BC，同理AB//CD，∴四边形ABCD是平行四边形。
MN、EF是对中平分线，∴M、N、E、F分别为AD、BC、AB、CD中点，
∴MN=AB，EF=AD。∵MN=EF，∴AB=AD，∴▱ABCD是菱形。
又∵MN、EF是对中平分线且相交于O，易证MN⊥EF，∴菱形ABCD是矩形。

答案：
(1)解：AD//BC。理由如下：
∵M为AD中点，
∴S_△AMN=S_△DMN。
∵MN为对中平分线，
∴S_ABNM=S_CDMN，
∴S_ABNM-S_△AMN=S_CDMN-S_△DMN，即S_△ABN=S_△DCN。
∵N为BC中点，
∴BN=CN。
设△ABN和△DCN的BN、CN边上的高分别为h₁、h₂，则$\frac{1}{2}$BN·h₁=$\frac{1}{2}$CN·h₂，
∴h₁=h₂。
∵h₁、h₂是AD上两点到BC的距离，
∴AD//BC。
(2)②③
(3)解：四边形ABCD是矩形。理由如下：
由
(1)知AD//BC，同理AB//CD，
∴四边形ABCD是平行四边形。
MN、EF是对中平分线，
∴M、N、E、F分别为AD、BC、AB、CD中点，
∴MN=AB，EF=AD。
∵MN=EF，
∴AB=AD，
∴▱ABCD是菱形。
又
∵MN、EF是对中平分线且相交于O，易证MN⊥EF，
∴菱形ABCD是矩形。