《2025年一本通武汉出版社九年级数学上册北师大版核心板》

5. 下列 4×4 的正方形网格中,小正方形的边长均为 1,三角形的顶点都在格点上,则与图中△ABC 相似的三角形所在的网格图形是 …………………………………………(D)
A.
B.
C.
D.

答案： 解：在△ABC中，由勾股定理得：
AC = √(2² + 2²) = 2√2，
BC = √(1² + 1²) = √2，
AB = √(1² + 3²) = √10，
∴△ABC的三边之比为 BC:AC:AB = √2:2√2:√10 = 1:2:√5。
选项D中三角形的三边长分别为√2，2√2，√10，三边之比为1:2:√5，与△ABC的三边对应成比例，
∴两三角形相似。
答案：D

6. 将一副三角尺如图所示叠放在一起,则 BE/EC的值是 $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

答案： 解：设 $ AC = BC = 1 $。
在 $ \text{Rt}\triangle ABC $ 中，$ \angle BAC = 90^\circ $，$ \angle ABC = 45^\circ $，
$ \therefore AB = AC = 1 $，$ BC = \sqrt{AC^2 + AB^2} = \sqrt{2} $。
在 $ \text{Rt}\triangle ACD $ 中，$ \angle CAD = 90^\circ $，$ \angle ADC = 30^\circ $，
$ \tan\angle ADC = \frac{AC}{AD} $，$ \therefore AD = \frac{AC}{\tan30^\circ} = \sqrt{3} $。
$ \because \angle BAC = \angle CAD = 90^\circ $，$ \angle AEB = \angle CED $，
$ \therefore \triangle AEB \sim \triangle CED $。
$ \therefore \frac{BE}{EC} = \frac{AB}{CD} $（此处应为$\frac{AB}{AD}$，修正后）$ \frac{BE}{EC} = \frac{AB}{AD} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} $。
$\frac{\sqrt{3}}{3}$

7. 如图,在四边形 ABCD 中,AD//BC,∠ABC= 90°,AB= 8,AD= 3,BC= 4,点 P 为 AB 边上一动点.若△PAD 与△PBC 是相似三角形,则 AP= $\frac{24}{7}$ 或 $2$ 或 $6$.

答案： 解：设 $AP = x$，则 $PB = AB - AP = 8 - x$。
因为 $AD // BC$，$\angle ABC = 90^\circ$，所以 $\angle PAD = \angle PBC = 90^\circ$。
若 $\triangle PAD \sim \triangle PBC$，分两种情况：
情况一：$\frac{AP}{BP} = \frac{AD}{BC}$
$\frac{x}{8 - x} = \frac{3}{4}$
$4x = 3(8 - x)$
$4x = 24 - 3x$
$7x = 24$
$x = \frac{24}{7}$
情况二：$\frac{AP}{BC} = \frac{AD}{BP}$
$\frac{x}{4} = \frac{3}{8 - x}$
$x(8 - x) = 12$
$8x - x^2 = 12$
$x^2 - 8x + 12 = 0$
$(x - 2)(x - 6) = 0$
解得 $x = 2$ 或 $x = 6$
综上，$AP = \frac{24}{7}$ 或 $2$ 或 $6$。
答案：$\frac{24}{7}$ 或 $2$ 或 $6$

8. (23 湘潭)如图,在 Rt△ABC 中,∠BAC= 90°,AD 是斜边 BC 上的高.
(1)求证:△ABD∽△CBA；(2)若 AB= 6,BC= 10,求 BD 的长.

答案： 【解析】：
（1）本题可根据相似三角形的判定定理来证明$\triangle ABD$与$\triangle CBA$相似。在两个三角形中，已知$\angle B$是公共角，且$\angle ADB = \angle BAC = 90^{\circ}$，根据“两角分别相等的两个三角形相似”即可证明。
（2）本题可根据相似三角形的性质来求解$BD$的长。由（1）可知$\triangle ABD\sim\triangle CBA$，根据相似三角形对应边成比例列出比例式，再代入已知边的长度求解$BD$。
【答案】：
（1）证明：
∵$\angle BAC = 90^{\circ}$，$AD$是斜边$BC$上的高，
∴$\angle ADB = \angle BAC = 90^{\circ}$，
又
∵$\angle B = \angle B$（公共角），
∴$\triangle ABD\sim\triangle CBA$（两角分别相等的两个三角形相似）。
（2）解：
∵$\triangle ABD\sim\triangle CBA$，
∴$\frac{BD}{AB}=\frac{AB}{BC}$（相似三角形对应边成比例），
已知$AB = 6$，$BC = 10$，代入上式可得：
$\frac{BD}{6}=\frac{6}{10}$，
$BD=\frac{6×6}{10}=\frac{36}{10} = 3.6$。
综上，$BD$的长为$3.6$。

9. (福田模拟)如图,在正方形 ABCD 中,E,F 分别是边 AD,CD 上的点,AE= ED,DF= 1/4DC,连接 EF 并延长交 BC 的延长线于点 G.
(1)求证:△ABE∽△DEF；
(2)若正方形 ABCD 的边长为 4,求 BG 的长.

答案：
(1)证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠D=90°，AB=AD=CD。
∵AE=ED，
∴AE=ED=AD/2=AB/2，
∴AE/AB=1/2。
∵DF=1/4DC，DC=AD=2ED，
∴DF=1/4×2ED=ED/2，
∴DF/ED=1/2，
∴AE/AB=DF/ED。
又
∵∠A=∠D，
∴△ABE∽△DEF。
(2)解：
∵正方形边长为4，
∴AD=CD=4，BC=4。
∵AE=ED，
∴ED=AD/2=2。
∵DF=1/4DC，
∴DF=1/4×4=1，CF=CD-DF=3。
∵AD//BG，
∴△EDF∽△GCF，
∴ED/CG=DF/CF，即2/CG=1/3，
∴CG=6，
∴BG=BC+CG=4+6=10。