《2025年一本通武汉出版社九年级数学上册北师大版核心板》

1. 下列方程中,是一元二次方程的是 ……………………………………………………(C)
A.2x+1= 0
$B.y^2+x= 1$
$C.x^2+x-1= 0$
D.$\frac{1}{x}+x^2= 1$

答案： 【解析】：
题目考察一元二次方程的识别。
一元二次方程的一般形式为 $ax^2 + bx + c = 0$，其中 $a \neq 0$，且方程中只含有一个未知数。
A. $2x+1= 0$：此方程为一元一次方程，因为它只包含 $x$ 的一次项，不包含 $x^2$ 项，所以不符合一元二次方程的定义。
B. $y^2+x= 1$：此方程包含两个未知数 $x$ 和 $y$，因此不是一元方程，不符合一元二次方程的定义。
C. $x^2+x-1= 0$：此方程符合一元二次方程的一般形式 $ax^2 + bx + c = 0$，其中 $a = 1, b = 1, c = -1$，且只含有一个未知数 $x$，因此是一元二次方程。
D. $\frac{1}{x}+x^2= 1$：此方程中包含 $x$ 的倒数项，不是整式方程，因此不符合一元二次方程的定义。
【答案】：
C

2. 若关于x的方程$ax^2-3x+1= 0$是一元二次方程,则 ……………………………………(C)
A.a＞0
B.a≥0
C.a≠0
D.a= 1

答案： 【解析】：
首先，我们需要明确什么是一元二次方程。一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$，其中$a$，$b$，$c$是常数，且$a\neq0$。这是因为当$a=0$时，方程退化为一元一次方程。
对于本题中的方程$ax^2-3x+1=0$，要使其为一元二次方程，必须满足$a\neq0$。
接下来，我们逐一分析选项：
A. $a＞0$：这个条件过于严格，因为$a$只需要不等于0即可，不需要大于0。
B. $a≥0$：这个条件同样不准确，因为当$a=0$时，方程退化为一元一次方程。
C. $a≠0$：这个条件正好符合一元二次方程的定义。
D. $a=1$：这个条件过于特定，$a$可以是任何非零实数。
综上所述，只有选项C满足一元二次方程的定义。
【答案】：
C

3. 一元二次方程$x^2-3x-5= 0$的二次项是$x^2$,一次项是$-3x$,常数项是$-5$.

答案： 【解析】：
题目考察的是对一元二次方程基本构成的理解。一元二次方程通常可以表示为 $ax^2 + bx + c = 0$ 的形式，其中 $a$ 是二次项系数，$b$ 是一次项系数，$c$ 是常数项。根据题目给出的一元二次方程 $x^2 - 3x - 5 = 0$，可以直接识别出各项系数。
【答案】：
二次项是 $x^2$，一次项是 $-3x$，常数项是 $-5$。

4. 将下列方程化为一元二次方程的一般形式,并指出二次项系数a,一次项系数b,常数项c.
$(1)4-7x^2= 0；$
$(2)3x^2= 5x-1；$
$(3)(2x-1)(3x+1)= x^2+2；$
(4)3x(x-1)= (x+2)(x-2)+9.

答案：
(1)解：一般形式：$-7x^2 + 4 = 0$
a=-7，b=0，c=4
(2)解：移项得$3x^2 - 5x + 1 = 0$
一般形式：$3x^2 - 5x + 1 = 0$
a=3，b=-5，c=1
(3)解：展开左边得$6x^2 + 2x - 3x - 1 = 6x^2 - x - 1$
移项得$6x^2 - x - 1 - x^2 - 2 = 0$
合并同类项得$5x^2 - x - 3 = 0$
一般形式：$5x^2 - x - 3 = 0$
a=5，b=-1，c=-3
(4)解：展开左边得$3x^2 - 3x$，右边展开得$x^2 - 4 + 9 = x^2 + 5$
移项得$3x^2 - 3x - x^2 - 5 = 0$
合并同类项得$2x^2 - 3x - 5 = 0$
一般形式：$2x^2 - 3x - 5 = 0$
a=2，b=-3，c=-5

5. 一个直角三角形三边的长为三个连续整数,求直角三角形三边的长. 补充下列部分解题过程.
解：设较长的直角边的长为x,另两边为x-1,x+1,两条直角边的平方分别为(x-1)²,x². 斜边的平方为(x+1)².
根据勾股定理,可列方程(x-1)² + x² = (x+1)²,
去括号,得x² - 2x + 1 + x² = x² + 2x + 1,
移项、合并同类项,将一元二次方程化为一般形式为x² - 4x = 0.
此方程的二次项系数a=1,一次项系数b=-4,常数项c=0.

答案： 【解析】：
本题主要考察勾股定理的应用以及一元二次方程的建立和求解。
首先，根据题目描述，直角三角形的三边长为三个连续整数，可以设较长的直角边为$x$，那么另两边分别为$x-1$和$x+1$（因为$x$是较长的直角边，所以斜边为$x+1$，较短的直角边为$x-1$）。
接着，根据勾股定理，直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，即：
$(x-1)^{2} + x^{2} = (x+1)^{2}$
展开并整理上述方程，得到一元二次方程的一般形式：
$x^{2} - 2x + 1 + x^{2} = x^{2} + 2x + 1$
$x^{2} - 4x = 0$
从上述方程中，我们可以得到二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-4$，常数项$c=0$。
【答案】：
解：设较长的直角边的长为$x$，另两边为$x-1$，$x+1$，两条直角边的平方分别为$(x-1)^{2}$，$x^{2}$。斜边的平方为$(x+1)^{2}$。
根据勾股定理，可列方程$(x-1)^{2} + x^{2} = (x+1)^{2}$，
去括号，得$x^{2} - 2x + 1 + x^{2} = x^{2} + 2x + 1$，
移项、合并同类项，将一元二次方程化为一般形式为$x^{2} - 4x = 0$。
此方程的二次项系数$a= 1$，一次项系数$b= -4$，常数项$c= 0$。