《2025年一本通武汉出版社九年级数学上册北师大版核心板》

1. 一个不透明的袋子中装有除颜色外其余均相同的 2 个红球和 3 个白球,随机从中摸出一球,记录下颜色后将它放回袋中,再随机摸出一球,则两次都摸到红球的概率是$\frac{4}{25}$.

答案： 解：
第一次摸球有5种等可能结果，第二次摸球同样有5种等可能结果，总结果数为$5×5=25$种。
两次都摸到红球的结果数为$2×2=4$种。
两次都摸到红球的概率是$\frac{4}{25}$。
$\frac{4}{25}$

2. 一个不透明的袋子里装有除颜色外其余均相同的 3 个红球和 2 个绿球,随机从中摸出一球,不再放回袋中,再随机摸出一球,两次都摸到红球的概率是$\frac{3}{10}$.

答案： 解：列表如下：
| 第一次 | 红1 | 红2 | 红3 | 绿1 | 绿2 |
|--------|-----|-----|-----|-----|-----|
| 红1 | - | (红1,红2) | (红1,红3) | (红1,绿1) | (红1,绿2) |
| 红2 | (红2,红1) | - | (红2,红3) | (红2,绿1) | (红2,绿2) |
| 红3 | (红3,红1) | (红3,红2) | - | (红3,绿1) | (红3,绿2) |
| 绿1 | (绿1,红1) | (绿1,红2) | (绿1,红3) | - | (绿1,绿2) |
| 绿2 | (绿2,红1) | (绿2,红2) | (绿2,红3) | (绿2,绿1) | - |
共有20种等可能的结果，其中两次都摸到红球的结果有6种，
所以两次都摸到红球的概率是$\frac{6}{20}=\frac{3}{10}$。
$\frac{3}{10}$

3. 分别转动如图所示的两个转盘各一次.

(1)求指针一个指向红色区域,另一个指向黄色区域的概率;
(2)请利用这两个转盘,设计一个对游戏双方公平的游戏.

答案：
(1)解：第一个转盘等分为红、黄2个区域，第二个转盘等分为红、黄、黄3个区域。
列表如下：
|第一个转盘|红|黄|
|----|----|----|
|红|（红，红）|（黄，红）|
|黄|（红，黄）|（黄，黄）|
|黄|（红，黄）|（黄，黄）|
共有6种等可能结果，其中一个指向红色区域，另一个指向黄色区域的结果有（红，黄）、（红，黄）、（黄，红），共3种。
所以概率为$\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$。
(2)解：游戏规则：分别转动两个转盘各一次，若指针指向颜色相同，则甲方胜；若指针指向颜色不同，则乙方胜。
由
(1)中列表可知，颜色相同的结果有（红，红）、（黄，黄）、（黄，黄），共3种；颜色不同的结果有3种，双方获胜概率均为$\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，游戏公平。

4. (24 东营)如图,四边形 ABCD 是平行四边形,从①AC= BD,②AC⊥BD,③AB= BC 这三个条件中任意选取两个,能使□ABCD 是正方形的概率为______.

$\frac{2}{3}$

答案： 解：从三个条件中任意选取两个，所有可能的组合为：①②、①③、②③，共3种等可能的结果。
对于①AC=BD，②AC⊥BD：平行四边形中对角线相等则为矩形，对角线互相垂直则为菱形，既是矩形又是菱形的四边形是正方形，故①②能使□ABCD是正方形。
对于①AC=BD，③AB=BC：平行四边形中AB=BC则为菱形，对角线相等的菱形是正方形，故①③能使□ABCD是正方形。
对于②AC⊥BD，③AB=BC：平行四边形中AB=BC则为菱形，对角线互相垂直的菱形仍是菱形，不一定是正方形，故②③不能使□ABCD是正方形。
综上，能使□ABCD是正方形的组合有2种，所以概率为$\frac{2}{3}$。
答案：$\frac{2}{3}$

5. 在一只不透明的口袋里装有红、黄、蓝三种颜色的小球(除颜色外其余都相同),其中红球有2 个,蓝球有1个.现从中任意摸出一个球是红球的概率为$\frac{1}{2}$.
(1)求袋中黄球的个数;
(2)现从袋中任意摸出两个球,请用列表法求摸到的两个球都是红球的概率.

答案：
(1)设袋中黄球的个数为$x$个，由题意得：
$\frac{2}{2 + 1 + x} = \frac{1}{2}$
解得$x = 1$，经检验$x = 1$是原方程的解，袋中黄球的个数为1个。
(2)袋中红球为红1、红2，黄球为黄，蓝球为蓝，列表如下：
|第一次|第二次|
| ---- | ---- |
|红1|红2|
|红1|黄|
|红1|蓝|
|红2|红1|
|红2|黄|
|红2|蓝|
|黄|红1|
|黄|红2|
|黄|蓝|
|蓝|红1|
|蓝|红2|
|蓝|黄|
共有12种等可能的结果，其中两个球都是红球的结果有2种，摸到的两个球都是红球的概率为$\frac{2}{12} = \frac{1}{6}$。