《2025年一本通武汉出版社九年级数学上册北师大版核心板》

2. 【问题情境】任意给定一个矩形,是否一定存在另一个矩形,它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？
【理解探究】(1)小明同学分别研究了长和宽为2和1,3和1,4和1,5和1这四个矩形,发现都不存在“减半”矩形,因此得出结论：对于长为n,宽为1的已知矩形,一定不存在另一个矩形,它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半. 你认为小明得出的结论是否正确？如果正确,请用小明研究的这四个矩形中的任意一个进行验证；如果不正确,请举例,并说明理由.
【拓展延伸】(2)若已知矩形的长为m,宽为n,是否存在另一个矩形,它的周长和面积都是已知矩形周长和面积的一半？如果存在,写出m与n应满足的关系；如果不存在,说明理由.
(注：需用一元二次方程知识)

答案：
(1)不正确。举例：长为6，宽为1的矩形。已知矩形周长为14，面积为6。设所求矩形长为a，宽为b，则a+b=3.5，ab=3。方程为x²-3.5x+3=0，判别式Δ=12.25-12=0.25＞0，方程有解，存在“减半”矩形。
(2)存在。已知矩形周长2(m+n)，面积mn。设所求矩形长a，宽b，则a+b=(m+n)/2，ab=mn/2。方程为x²-[(m+n)/2]x+mn/2=0。判别式Δ=(m+n)²/4 - 2mn=(m²+2mn+n²-8mn)/4=(m²-6mn+n²)/4≥0，即m²-6mn+n²≥0。