《2025年一本通武汉出版社九年级数学上册北师大版核心板》

7. (24徐州)若关于x的方程$x^{2}+kx+1= 0$有两个相等的实数根,则k值为$\pm2$.

答案： 解：
∵方程$x^{2}+kx+1=0$有两个相等的实数根，
∴判别式$\Delta = k^{2}-4×1×1 = 0$，
即$k^{2}-4 = 0$，
解得$k = \pm2$。
$\pm2$

8. (24广安)若关于x的方程$(m+1)x^{2}-2x+1= 0$有两个不相等的实数根,则m的取值范围是$m＜0$且$m\neq -1$.

答案： 解：
∵方程有两个不相等的实数根，
∴此方程为一元二次方程，且判别式$\Delta＞0$。
$\Delta=(-2)^2 - 4(m + 1)×1 = 4 - 4m - 4 = -4m$
$\begin{cases}m + 1\neq0\\-4m＞0\end{cases}$
解得$m＜0$且$m\neq -1$
$m＜0$且$m\neq -1$

9. 若关于x的方程$kx^{2}-x-\frac {3}{4}= 0$有实数根,则实数k的取值范围是$k \geq -\frac{1}{3}$.

答案： 解：当$k = 0$时，方程为$-x - \frac{3}{4} = 0$，是一元一次方程，有实数根$x = -\frac{3}{4}$。
当$k \neq 0$时，方程为一元二次方程，判别式$\Delta = (-1)^2 - 4k × (-\frac{3}{4}) = 1 + 3k$。
因为方程有实数根，所以$\Delta \geq 0$，即$1 + 3k \geq 0$，解得$k \geq -\frac{1}{3}$。
综上，$k$的取值范围是$k \geq -\frac{1}{3}$。
$k \geq -\frac{1}{3}$

10. 用公式法解方程：
(1)$(2x-1)^{2}-8= 2(2x-1)$；
(2)$4x^{2}-4\sqrt {5}x+5= 0$.

答案： 【解析】：
本题主要考查用公式法解一元二次方程。
公式法即使用一元二次方程的求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$来求解方程。
对于第一个方程$(2x-1)^{2}-8= 2(2x-1)$，需要先将其化为一元二次方程的一般形式$ax^{2}+bx+c=0$，然后确定$a$，$b$，$c$的值，最后代入求根公式求解。
对于第二个方程$4x^{2}-4\sqrt {5}x+5= 0$，同样需要先确定$a$，$b$，$c$的值，然后代入求根公式求解。
【答案】：
(1)解：
原方程为$(2x-1)^{2}-8= 2(2x-1)$，
展开并整理得：
$4x^{2}-4x+1-8-4x+2=0$，
$4x^{2}-8x-5=0$，
其中$a=4$，$b=-8$，$c=-5$，
判别式$\Delta=b^{2}-4ac=(-8)^{2}-4×4×(-5)=144$，
所以$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{8\pm\sqrt{144}}{8}$，
$x_{1}=\frac{8+12}{8}=\frac{5}{2}$，
$x_{2}=\frac{8-12}{8}=-\frac{1}{2}$；
(2)解：
原方程为$4x^{2}-4\sqrt {5}x+5= 0$，
其中$a=4$，$b=-4\sqrt {5}$，$c=5$，
判别式$\Delta=b^{2}-4ac=(-4\sqrt {5})^{2}-4×4×5=0$，
所以$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{4\sqrt {5}\pm0}{8}$，
$x_{1}=x_{2}=\frac{\sqrt {5}}{2}$。

11. 已知关于x的方程$x^{2}+mx+m-2= 0$.
(1)若此方程的一个根为1,求m的值；
(2)求证：不论m取何实数,此方程都有两个不相等的实数根.

答案： 【解析】：
(1)本题要求根据方程的一个根来求方程的参数m。由于已知方程的一个根为1，我们可以将$x=1$代入原方程，然后解出m的值。
(2)本题要证明不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根。根据一元二次方程的根的判别式$\Delta = b^{2} - 4ac$，我们可以判断方程的根的情况。将方程的系数代入判别式，然后化简，最后判断其值是否大于0。
【答案】：
(1)解：将$x=1$代入原方程$x^{2}+mx+m-2= 0$，得到
$1^{2} + m × 1 + m - 2 = 0$
即$1 + 2m - 2 = 0$，
解得$m = \frac{1}{2}$。
(2)证明：对于方程$x^{2}+mx+m-2= 0$，其判别式为
$\Delta = m^{2} - 4 × 1 × (m - 2)$
$= m^{2} - 4m + 8$
$= (m - 2)^{2} + 4$
由于$(m - 2)^{2} \geq 0$，所以$(m - 2)^{2} + 4 ＞ 0$。
因此，不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根。

12. 已知$□ ABCD$的两邻边长是关于x的方程$x^{2}-mx+m-1= 0$的两个实数根.
(1)当m为何值时,四边形ABCD为菱形？求出这时菱形的边长；
(2)若AB的长为2,那么$□ ABCD$的周长是多少？

答案：
(1) 解：
∵四边形ABCD为菱形，
∴邻边相等，即方程有两个相等的实数根。
方程$x^2 - mx + m - 1 = 0$，判别式$\Delta = (-m)^2 - 4×1×(m - 1) = m^2 - 4m + 4 = (m - 2)^2$。
令$\Delta = 0$，则$(m - 2)^2 = 0$，解得$m = 2$。
当$m = 2$时，方程为$x^2 - 2x + 1 = 0$，即$(x - 1)^2 = 0$，解得$x_1 = x_2 = 1$。
∴当$m = 2$时，四边形ABCD为菱形，菱形的边长为1。
(2) 解：
∵AB的长为2，
∴x = 2是方程$x^2 - mx + m - 1 = 0$的一个根。
将x = 2代入方程得：$2^2 - 2m + m - 1 = 0$，即$4 - m - 1 = 0$，解得$m = 3$。
原方程为$x^2 - 3x + 2 = 0$，解得$x_1 = 1$，$x_2 = 2$。
∴平行四边形的两邻边长分别为1和2，周长为$2×(1 + 2) = 6$。