《2025年一本通武汉出版社九年级数学上册北师大版核心板》

1.(龙华模拟)如图,某中学有一块长30 m,宽20 m的矩形空地,计划在这块空地上划出三分之二的区域种花,设花带的宽度为x m,则可列方程为 …………………………………………………………………… (B)
A.(30-x)(20-x)= 2/3×20×30
B.(30-2x)(20-x)= 1/3×20×30
C.30x+2×20x= 1/3×20×30
D.(30-2x)(20-x)= 2/3×20×30

答案： 解：矩形空地面积为 $30×20$ 平方米，种花区域面积为 $\frac{2}{3}×30×20$ 平方米。
由图可知，未种花区域为矩形，其长为 $30 - 2x$ 米，宽为 $20 - x$ 米，未种花区域面积为 $(30 - 2x)(20 - x)$ 平方米。
因为种花区域面积占三分之二，所以未种花区域面积占三分之一，即 $(30 - 2x)(20 - x) = \frac{1}{3}×30×20$。
答案：B

2.如图,在Rt△ABC中,∠C= 90°,点P,Q同时由A,B两点出发,分别沿AC,BC方向向点C匀速移动,速度都是1 m/s.x s后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半,下面所列方程正确的是……………………………………………… (A)

A.1/2(8-x)(6-x)= 1/2×8×6×1/2
B.1/2(8-x)(6-x)= 1/2×8×6
C.1/2(8-x)(6-x)= 8×6
D.1/2(8-x)(6-x)= 2×8×6

答案： 【解析】：本题可先分别表示出$PC$、$CQ$的长度，再根据三角形面积公式表示出$\triangle PCQ$的面积，最后结合已知条件列出方程。
步骤一：求出$AC$、$BC$的长度以及$\triangle ABC$的面积
已知在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$AC = 8cm$，$BC = 6cm$。
根据直角三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ab$（其中$a$、$b$为直角边），可得$\triangle ABC$的面积为：
$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}× 8× 6$ $cm^2$。
步骤二：求出$PC$、$CQ$的长度
因为点$P$、$Q$同时由$A$、$B$两点出发，速度都是$1m/s$，$x s$后，$AP = x m$，$BQ = x m$。
那么$PC = AC - AP = (8 - x)cm$，$CQ = BC - BQ = (6 - x)cm$。
步骤三：求出$\triangle PCQ$的面积
同样根据直角三角形面积公式，可得$\triangle PCQ$的面积为：
$S_{\triangle PCQ}=\frac{1}{2}× PC× CQ=\frac{1}{2}(8 - x)(6 - x)$ $cm^2$。
步骤四：根据已知条件列出方程
已知$x s$后$\triangle PCQ$的面积为$Rt\triangle ACB$面积的一半，即$S_{\triangle PCQ}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}$。
将$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}× 8× 6$，$S_{\triangle PCQ}=\frac{1}{2}(8 - x)(6 - x)$代入$S_{\triangle PCQ}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}$，可得：
$\frac{1}{2}(8 - x)(6 - x)=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}× 8× 6$，化简后为$\frac{1}{2}(8 - x)(6 - x)=\frac{1}{2}× 8× 6×\frac{1}{2}$。
【答案】：A

3.一直角三角形两条直角边长的和为7,面积为6,求斜边的长.

答案： 解：设一条直角边长为$x$，则另一条直角边长为$7 - x$。
根据题意，得$\frac{1}{2}x(7 - x) = 6$，
整理，得$x^2 - 7x + 12 = 0$，
解得$x_1 = 3$，$x_2 = 4$。
当$x = 3$时，另一条直角边长为$7 - 3 = 4$；
当$x = 4$时，另一条直角边长为$7 - 4 = 3$。
所以两直角边长分别为3和4。
根据勾股定理，斜边长为$\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$。
答：斜边的长为5。

4.如图,在Rt△ABC中,∠C= 90°,AC= 30 cm,BC= 25 cm.动点P从点C出发,沿CA方向运动,速度是2 cm/s;动点Q从点B出发,沿BC方向运动,速度是1 cm/s.

(1)若设运动时间为x s,则图中的线段CP=2x cm,PA=(30 - 2x)cm,BQ=x cm,QC=(25 - x)cm.
(2)几秒后,△PCQ为等腰三角形?
解：当△PCQ是等腰三角形时，CP = CQ，即2x = 25 - x，x=25/3，∴25/3s后，△PCQ是等腰三角形。
(3)几秒后,P,Q两点相距25 cm?
解：当P，Q两点相距25cm时，(2x)²+(25 - x)²=25²，4x²+625 - 50x + x²=625，5x²-50x = 0，5x(x - 10)=0，x = 0（舍）或x = 10，∴10s后P，Q两点相距25cm。

答案： 【解析】：
本题主要考查一元二次方程的应用，通过动点问题设立未知数，再根据等腰三角形的性质以及勾股定理列出方程求解。
（1）已知动点$P$从点$C$出发，速度是$2cm/s$，运动时间为$x s$，根据路程$=$速度$×$时间，可得$CP = 2x cm$。
因为$AC = 30cm$，所以$PA=(30 - 2x)cm$。
动点$Q$从点$B$出发，速度是$1cm/s$，运动时间为$x s$，则$BQ = x cm$。
又因为$BC = 25cm$，所以$QC=(25 - x)cm$。
（2）当$\triangle PCQ$为等腰三角形时，$CP = CQ$，即$2x = 25 - x$，移项可得$2x + x = 25$，$3x = 25$，解得$x=\frac{25}{3}$。
（3）在$Rt\triangle PCQ$中，根据勾股定理$PC^{2}+QC^{2}=PQ^{2}$，已知$PQ = 25cm$，$PC = 2x cm$，$QC=(25 - x)cm$，则可列出方程$(2x)^{2}+(25 - x)^{2}=25^{2}$。
展开式子得$4x^{2}+625 - 50x + x^{2}=625$，
合并同类项得$5x^{2}-50x = 0$，提取公因式$5x$得$5x(x - 10)=0$，
则$5x = 0$或$x - 10 = 0$，解得$x = 0$（舍去，因为$x = 0$时，动点刚开始运动，不符合题意）或$x = 10$。
【答案】：
(1)$2x cm$；$(30 - 2x)cm$；$x cm$；$(25 - x)cm$
(2)解：当$\triangle PCQ$是等腰三角形时，$CP = CQ$，
即$2x = 25 - x$，$x=\frac{25}{3}$，
$\therefore\frac{25}{3}s$后，$\triangle PCQ$是等腰三角形。
(3)解：当$P$，$Q$两点相距$25cm$时，
$(2x)^{2}+(25 - x)^{2}=25^{2}$
$4x^{2}+625 - 50x + x^{2}=625$
$5x^{2}-50x = 0$
$5x(x - 10)=0$
$x = 0$（舍）或$x = 10$
$\therefore 10s$后$P$，$Q$两点相距$25cm$。