《2025年一本通武汉出版社九年级数学上册北师大版核心板》

【初步思考】(1)小明根据探索三角形相似的条件所获得的经验,考虑可以从定义出发逐步弱化条件探究四边形相似的条件,他考虑到“四角分别相等的两个四边形相似”可以举出反例矩形,“四边成比例的两个四边形相似”可以举出反例菱形.所以四边形相似的条件必须再添加条件.
(2)学习小组一致认为“四边成比例,且一角对应相等的两个四边形相似”是真命题,请结合如图所示图形完成证明.
已知：四边形ABCD和四边形A'B'C'D'中,$\frac{AB}{A'B'}= \frac{BC}{B'C'}= \frac{CD}{C'D'}= \frac{AD}{A'D'}$,$\angle A= \angle A'$.
求证：四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'.
证明：连接BD、B'D'，
∵$\frac{AB}{A'B'}=\frac{AD}{A'D'}$，∠A=∠A'，
∴△ABD∽△A'B'D'，
∴$\frac{BD}{B'D'}=\frac{AB}{A'B'}$，∠ABD=∠A'B'D'，∠ADB=∠A'D'B'，
∵$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{CD}{C'D'}$，
∴$\frac{BC}{B'C'}=\frac{CD}{C'D'}=\frac{BD}{B'D'}$，
∴△BCD∽△B'C'D'，
∴∠C=∠C'，∠CBD=∠C'B'D'，∠CDB=∠C'D'B'，
∴∠ABC=∠A'B'C'，∠ADC=∠A'D'C'，∠B=∠B'，∠D=∠D'，
∵$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{CD}{C'D'}=\frac{AD}{A'D'}$，
∴四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'。
(3)对于“三边成比例,且两角分别相等的两个四边形相似”,学习小组得到如下四个命题：
①三边成比例,两邻角分别相等且只有一角为其中两边的夹角的两个四边形相似；
②三边成比例,两邻角分别相等且都不是其中两边的夹角的两个四边形相似；
③三边成比例及其两夹角分别相等的两个四边形相似；
④三边成比例,两对角分别相等的两个四边形相似.
其中真命题是③.(填写所有真命题的序号)
(4)请你完成“两边成比例,且三角分别相等的两个四边形相似”的探究过程.
已知：四边形ABCD和四边形A'B'C'D'中，∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'，$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}$，
求证：四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'。
证明：
∵∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'，
∴∠D=∠D'，
连接AC、A'C'，
∵∠B=∠B'，$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}$，
∴△ABC∽△A'B'C'，
∴$\frac{AC}{A'C'}=\frac{AB}{A'B'}$，∠BAC=∠B'A'C'，∠BCA=∠B'C'A'，
∴∠DAC=∠D'A'C'，∠DCA=∠D'C'A'，
∴△ACD∽△A'C'D'，
∴$\frac{AD}{A'D'}=\frac{CD}{C'D'}=\frac{AC}{A'C'}$，
∴$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{AD}{A'D'}=\frac{CD}{C'D'}$，
∵∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'，∠D=∠D'，
∴四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，
故“两边成比例，且三角分别相等的两个四边形相似”是真命题。

答案：
(1)菱形
(2)证明：连接BD、B'D'，
∵$\frac{AB}{A'B'}=\frac{AD}{A'D'}$，∠A=∠A'，
∴△ABD∽△A'B'D'，
∴$\frac{BD}{B'D'}=\frac{AB}{A'B'}$，∠ABD=∠A'B'D'，∠ADB=∠A'D'B'，
∵$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{CD}{C'D'}$，
∴$\frac{BC}{B'C'}=\frac{CD}{C'D'}=\frac{BD}{B'D'}$，
∴△BCD∽△B'C'D'，
∴∠C=∠C'，∠CBD=∠C'B'D'，∠CDB=∠C'D'B'，
∴∠ABC=∠A'B'C'，∠ADC=∠A'D'C'，∠B=∠B'，∠D=∠D'，
∵$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{CD}{C'D'}=\frac{AD}{A'D'}$，
∴四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'。
(3)③
(4)已知：四边形ABCD和四边形A'B'C'D'中，∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'，$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}$，
求证：四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'。
证明：
∵∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'，
∴∠D=∠D'，
连接AC、A'C'，
∵∠B=∠B'，$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}$，
∴△ABC∽△A'B'C'，
∴$\frac{AC}{A'C'}=\frac{AB}{A'B'}$，∠BAC=∠B'A'C'，∠BCA=∠B'C'A'，
∴∠DAC=∠D'A'C'，∠DCA=∠D'C'A'，
∴△ACD∽△A'C'D'，
∴$\frac{AD}{A'D'}=\frac{CD}{C'D'}=\frac{AC}{A'C'}$，
∴$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{AD}{A'D'}=\frac{CD}{C'D'}$，
∵∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'，∠D=∠D'，
∴四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，
故“两边成比例，且三角分别相等的两个四边形相似”是真命题。