《2025年一本通武汉出版社九年级数学上册北师大版核心板》

5. 定义：对角线相等的凸四边形称为对美四边形。
(1)在平行四边形、矩形、菱形、正方形中,是对美四边形的有矩形、正方形；
(2)如图1,在△ABC中,∠B= 90°,AB= 4,BC= 3,D为线段AB的垂直平分线上一点(点D位于AB上方),若以点A,B,C,D为顶点的四边形是对美四边形,求这个对美四边形的面积。
解：∵∠B=90°，AB=4，BC=3，
∴AC=√(AB²+BC²)=5，
∵D在AB垂直平分线上，设AB中点为O，OA=OB=2，设D(2,y)(y＞0)，
①若四边形ACBD是对美四边形，AC=BD=5，
BD=√[(2-0)²+(y-0)²]=√(4+y²)=5，y=√21，
S=S△ABC+S△ABD=1/2×4×3+1/2×4×√21=6+2√21；
②若四边形ADBC是对美四边形，AD=BC=3，
AD=√[(2-0)²+(y-0)²]=√(4+y²)=3，y=√5，
S=S△ABC+S△ABD=1/2×4×3+1/2×4×√5=6+2√5；
③若四边形ABDC是对美四边形，AB=CD=4，
CD=√[(2-0)²+(y-3)²]=√(4+(y-3)²)=4，y=3±√12(舍负)，y=3+2√3，
S=S△ABC+S△ABD=1/2×4×3+1/2×4×(3+2√3)=6+6+4√3=12+4√3；
综上，面积为6+2√21或6+2√5或12+4√3。
(3)如图2,D为等腰三角形ABC底边AB上的一点,连接CD,过点C作CF//AB,以点B为顶点作∠CBE= ∠ACD,BE交CF于点E,求证：四边形CDBE为对美四边形。
证明：∵CF//AB，∴∠FCB=∠CBA，
∵△ABC等腰，AC=BC，∴∠A=∠CBA=∠FCB，
∵∠CBE=∠ACD，∴△ACD∽△CBE(AA)，
∴AC/CB=CD/BE，∵AC=BC，∴CD=BE，
∵CF//AB，∴四边形CDBE对角线为CE、BD，
又∵∠CBE=∠ACD，∠A+∠ACD=∠CDB，∠FCB+∠CBE=∠CEB，
∠A=∠FCB，∴∠CDB=∠CEB，
∵CD=BE，∠CDB=∠CEB，∠DCB=∠EBC，
∴△CDB≌△BEC(ASA)，∴CE=BD，
∴四边形CDBE为对美四边形。

答案：
(1)矩形、正方形
(2)解：
∵∠B=90°，AB=4，BC=3，
∴AC=√(AB²+BC²)=5，
∵D在AB垂直平分线上，设AB中点为O，OA=OB=2，设D(2,y)(y＞0)，
①若四边形ACBD是对美四边形，AC=BD=5，
BD=√[(2-0)²+(y-0)²]=√(4+y²)=5，y=√21，
S=S△ABC+S△ABD=1/2×4×3+1/2×4×√21=6+2√21；
②若四边形ADBC是对美四边形，AD=BC=3，
AD=√[(2-0)²+(y-0)²]=√(4+y²)=3，y=√5，
S=S△ABC+S△ABD=1/2×4×3+1/2×4×√5=6+2√5；
③若四边形ABDC是对美四边形，AB=CD=4，
CD=√[(2-0)²+(y-3)²]=√(4+(y-3)²)=4，y=3±√12(舍负)，y=3+2√3，
S=S△ABC+S△ABD=1/2×4×3+1/2×4×(3+2√3)=6+6+4√3=12+4√3；
综上，面积为6+2√21或6+2√5或12+4√3。
(3)证明：
∵CF//AB，
∴∠FCB=∠CBA，
∵△ABC等腰，AC=BC，
∴∠A=∠CBA=∠FCB，
∵∠CBE=∠ACD，
∴△ACD∽△CBE(AA)，
∴AC/CB=CD/BE，
∵AC=BC，
∴CD=BE，
∵CF//AB，
∴四边形CDBE对角线为CE、BD，
又
∵∠CBE=∠ACD，∠A+∠ACD=∠CDB，∠FCB+∠CBE=∠CEB，
∠A=∠FCB，
∴∠CDB=∠CEB，
∵CD=BE，∠CDB=∠CEB，∠DCB=∠EBC，
∴△CDB≌△BEC(ASA)，
∴CE=BD，
∴四边形CDBE为对美四边形。