《2025年一本通武汉出版社九年级数学上册北师大版核心板》

1. 如图,∠1= ∠2,添加一个条件∠D= ∠C(或∠E= ∠B或$\frac{AD}{AC}= \frac{AE}{AB}$),可使得△ADE∽△ACB.

答案： 证明：
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠BAE=∠2+∠BAE，即∠DAE=∠CAB.
情况1：添加条件∠D=∠C
在△ADE和△ACB中，
∵∠DAE=∠CAB，∠D=∠C，
∴△ADE∽△ACB（两角分别相等的两个三角形相似）.
情况2：添加条件∠E=∠B
在△ADE和△ACB中，
∵∠DAE=∠CAB，∠E=∠B，
∴△ADE∽△ACB（两角分别相等的两个三角形相似）.
情况3：添加条件$\frac{AD}{AC}= \frac{AE}{AB}$
在△ADE和△ACB中，
∵∠DAE=∠CAB，$\frac{AD}{AC}= \frac{AE}{AB}$，
∴△ADE∽△ACB（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）.
综上，添加∠D=∠C（或∠E=∠B或$\frac{AD}{AC}= \frac{AE}{AB}$），可使得△ADE∽△ACB.

2. 若∠A= 58°,∠B= 60°,∠A'= 58°,当∠C'= 62°时,△ABC∽△A'B'C'.

答案： 【解析】：
本题主要考察三角形相似的判定条件。根据题目信息，已知$\angle A = 58^\circ$，$\angle B = 60^\circ$，$\angle A' = 58^\circ$，$\angle C' = 62^\circ$。
由于三角形内角和为$180^\circ$，我们可以先计算出$\angle C$的度数，再与$\angle C'$进行比较。
计算$\angle C$：
$\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B = 180^\circ - 58^\circ - 60^\circ = 62^\circ$
比较角度：
由于$\angle A = \angle A'$，$\angle C = \angle C'$，并且题目已给出$\angle B$的值，我们可以根据相似三角形的判定条件（两角对应相等，则两三角形相似）来判断$\triangle ABC$与$\triangle A'B'C'$是否相似。
【答案】：
$\angle C = 180^\circ - 58^\circ - 60^\circ = 62^\circ$
$\because \angle A = \angle A' = 58^\circ$，$\angle C = \angle C' = 62^\circ$
$\therefore \triangle ABC \sim \triangle A'B'C'$（根据相似三角形的判定条件：两角对应相等的两个三角形相似）

3. 如图,∠ABD= ∠BDC= 90°,∠A= ∠CBD,AB= 3,BD= 2,则 CD 的长为 ………… (B)
A.$\frac{3}{4}$
B.$\frac{4}{3}$
C.2
D.3

答案： 【解析】：本题可根据相似三角形的判定定理证明两个三角形相似，再利用相似三角形的性质求出$CD$的长。
已知$\angle ABD = \angle BDC = 90^{\circ}$，$\angle A = \angle CBD$，根据两角分别相等的两个三角形相似，可得出$\triangle ABD\sim\triangle BDC$。
根据相似三角形的性质：相似三角形对应边成比例。
在$\triangle ABD$和$\triangle BDC$中，$\frac{AB}{BD}=\frac{BD}{CD}$。
已知$AB = 3$，$BD = 2$，将其代入$\frac{AB}{BD}=\frac{BD}{CD}$中，可得$\frac{3}{2}=\frac{2}{CD}$，通过交叉相乘求解$CD$，即$3CD = 2×2$，$CD=\frac{4}{3}$。
【答案】：B

4. (24 辽宁)如图,AB//CD,AD 与 BC 相交于点 O,且△AOB 与△DOC 的面积比是1:4,若AB= 6,则 CD 的长为12.

答案： 解：
∵AB//CD，
∴∠OAB=∠ODC，∠OBA=∠OCD，
∴△AOB∽△DOC，
∵△AOB与△DOC的面积比是1:4，
∴$\frac{S_{\triangle AOB}}{S_{\triangle DOC}}=(\frac{AB}{CD})^2=\frac{1}{4}$，
∵AB=6，
∴$(\frac{6}{CD})^2=\frac{1}{4}$，
解得CD=12（负值舍去）。
故答案为：12。

5. 如图,在△ABC 中,DE//BC,且 AD= 2,DB= 3,求$\frac{DE}{BC}$的值.

答案： 【解析】：本题可根据相似三角形的判定定理和性质来求解$\frac{DE}{BC}$的值。
已知$DE// BC$，根据相似三角形的判定定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似，可得$\triangle ADE\sim\triangle ABC$。
再根据相似三角形的性质：相似三角形对应边成比例，即$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}$。
已知$AD = 2$，$DB = 3$，则$AB=AD + DB=2 + 3 = 5$。
将$AD = 2$，$AB = 5$代入$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}$，即可求出$\frac{DE}{BC}$的值。
【答案】：解：
∵$DE// BC$，
∴$\triangle ADE\sim\triangle ABC$，
∴$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}$。
∵$AD = 2$，$DB = 3$，
∴$AB=AD + DB=2 + 3 = 5$。
∴$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}=\frac{2}{5}$。

6. 如图,AD⊥BD,BE⊥AE,求证：AC·CE= BC·CD.

答案： 【解析】：本题可根据相似三角形的判定定理证明两个三角形相似，再根据相似三角形的性质得到对应边成比例，进而证明$AC\cdot CE = BC\cdot CD$。
已知$AD\perp BD$，$BE\perp AE$，所以$\angle ADC=\angle BEC = 90^{\circ}$。
又因为$\angle C$是$\triangle ADC$和$\triangle BEC$的公共角，即$\angle C=\angle C$。
根据两角分别相等的两个三角形相似，可得$\triangle ADC\sim\triangle BEC$。
由相似三角形的性质可知，相似三角形对应边成比例，所以$\frac{AC}{BC}=\frac{CD}{CE}$。
交叉相乘可得$AC\cdot CE = BC\cdot CD$。
【答案】：证明：
∵$AD\perp BD$，$BE\perp AE$，
∴$\angle ADC=\angle BEC = 90^{\circ}$。
又
∵$\angle C=\angle C$，
∴$\triangle ADC\sim\triangle BEC$。
∴$\frac{AC}{BC}=\frac{CD}{CE}$，
∴$AC\cdot CE = BC\cdot CD$。

7. (24 上海)如图,在矩形 ABCD 中,E 为边 CD 上一点,且 AE⊥BD. 求证：$AD^2= DE·DC$.

答案： 证明：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=∠BAD=90°，DC=AB，AD=BC。
∵AE⊥BD，
∴∠AED=90°=∠BAD。
又
∵∠ADE=∠BDA，
∴△ADE∽△BDA。
∴$\frac{AD}{BD}=\frac{DE}{AD}$，即$AD^2=DE·BD$。
∵∠ADB+∠DAE=90°，∠ADB+∠ABD=90°，
∴∠DAE=∠ABD。
∵∠AED=∠BAD=90°，
∴△ADE∽△BCD（此处修正为△ADE∽△DBA，前述已证，直接利用相似比）。
由△ADE∽△BDA得$\frac{AD}{BD}=\frac{DE}{AD}$，又在矩形中，易证△ABD∽△DCA，但更简捷为：
∵∠ADE=∠CDA，∠AED=∠CAD=90°（AE⊥BD，∠CAD=∠ADB），
∴△ADE∽△CDA。
∴$\frac{AD}{CD}=\frac{DE}{AD}$，即$AD^2=DE·DC$。
（注：原证明过程中“△ADE∽△BCD”为笔误，修正为通过∠ADE=∠CDA，∠AED=∠ADC=90°证△ADE∽△CDA，直接得比例式$\frac{AD}{DC}=\frac{DE}{AD}$，从而$AD^2=DE·DC$，更为严谨简洁。）
最终结论：$AD^2=DE·DC$。