《2025年一本通武汉出版社九年级数学上册北师大版核心板》

4. 定义：如果一个凸四边形沿着它的一条对角线对折后能完全重合,我们就把这个四边形称为“忧乐四边形”。如图1,凸四边形ABCD沿对角线AC对折后完全重合,四边形ABCD是以直线AC为对称轴的“忧乐四边形”。
(1)下列四边形一定是“忧乐四边形”的有 ②④。(填序号)
①平行四边形 ②菱形 ③矩形 ④正方形
(2)如图2,在矩形ABCD中,点E是BC边上的中点,四边形ABEM是以直线AE为对称轴的“忧乐四边形”(点M在四边形ABCD内部),连接AM并延长交DC于点N。求证：四边形MECN是“忧乐四边形”。
证明：
∵ 四边形ABEM是以AE为对称轴的“忧乐四边形”，
∴ △ABE≌△AME，∠BAE=∠MAE，BE=ME。
∵ E为BC中点，∴ BE=EC，∴ ME=EC。
∵ 矩形ABCD中，AB=CD，∠B=∠C=90°，AD//BC，
∴ ∠MAE=∠AEN（内错角），又∠BAE=∠MAE，
∴ ∠BAE=∠AEN，∴ AN=EN。
在△MEN和△CEN中，
ME=CE，EN=EN，∠MEN=∠CEN，
∴ △MEN≌△CEN（SAS），
∴ 四边形MECN沿EN对折后完全重合，
即四边形MECN是“忧乐四边形”。
(3)如图3,在四边形ABCD中,AB//CD,AD//BC,AB= 3,AD= 5,点E是BC边上的中点,四边形ABEM是以直线AE为对称轴的“忧乐四边形”(点M在四边形ABCD内部),连接AM并延长交DC于点N。当△ADN是直角三角形时,请求出线段CN的长。
解：
∵ AB//CD，AD//BC，∴ 四边形ABCD为平行四边形，CD=AB=3，BC=AD=5。
E为BC中点，∴ BE=EC=2.5。
由“忧乐四边形”ABEM得△ABE≌△AME，AM=AB=3，ME=BE=2.5。
设CN=x，则DN=3-x，AN=AM+MN=3+MN。
① 当∠AND=90°时，
在Rt△ADN中，AD²=AN²+DN²，即5²=(3+MN)²+(3-x)²。
在Rt△MNC中，MN²=ME²-CN²=2.5²-x²，
联立解得x=1.4；
② 当∠NAD=90°时，
AN²+AD²=DN²，即(3+MN)²+5²=(3-x)²，无解；
③ 当∠ADN=90°时，
AD²+DN²=AN²，即5²+(3-x)²=(3+MN)²，
结合MN²=2.5²-x²，解得x=0（舍去）。
综上，CN=1.4。

答案：
(1) ②④
(2) 证明：
∵ 四边形ABEM是以AE为对称轴的“忧乐四边形”，
∴ △ABE≌△AME，∠BAE=∠MAE，BE=ME。
∵ E为BC中点，
∴ BE=EC，
∴ ME=EC。
∵ 矩形ABCD中，AB=CD，∠B=∠C=90°，AD//BC，
∴ ∠MAE=∠AEN（内错角），又∠BAE=∠MAE，
∴ ∠BAE=∠AEN，
∴ AN=EN。
在△MEN和△CEN中，
ME=CE，EN=EN，∠MEN=∠CEN，
∴ △MEN≌△CEN（SAS），
∴ 四边形MECN沿EN对折后完全重合，
即四边形MECN是“忧乐四边形”。
(3) 解：
∵ AB//CD，AD//BC，
∴ 四边形ABCD为平行四边形，CD=AB=3，BC=AD=5。
E为BC中点，
∴ BE=EC=2.5。
由“忧乐四边形”ABEM得△ABE≌△AME，AM=AB=3，ME=BE=2.5。
设CN=x，则DN=3-x，AN=AM+MN=3+MN。
① 当∠AND=90°时，
在Rt△ADN中，AD²=AN²+DN²，即5²=(3+MN)²+(3-x)²。
在Rt△MNC中，MN²=ME²-CN²=2.5²-x²，
联立解得x=1.4；
② 当∠NAD=90°时，
AN²+AD²=DN²，即(3+MN)²+5²=(3-x)²，无解；
③ 当∠ADN=90°时，
AD²+DN²=AN²，即5²+(3-x)²=(3+MN)²，
结合MN²=2.5²-x²，解得x=0（舍去）。
综上，CN=1.4。
答案：
(1) ②④；
(2) 见证明；
(3) CN=1.4。