《2025年一本通武汉出版社九年级数学上册北师大版核心板》

3. 课本知识点再现：有一个角是直角的平行四边形是矩形.
【定义应用】(1)如图1,在四边形ABCD中,∠A= ∠B= ∠C= 90°,用矩形的定义求证四边形ABCD是矩形；
(2)如图2,在四边形ABCD中,∠A= ∠B= 90°,E是AB的中点,连接DE,CE,且DE= CE,求证：四边形ABCD是矩形；
【拓展延伸】(3)如图3,将矩形ABCD沿DE折叠,使点A落在BC边上的点F处,若图中的四个三角形都相似,求$\frac{AB}{BC}$的值.
(注：需用相似知识)

答案：
(1)证明：
∵∠A=∠B=∠C=90°，
∴∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°，
∴AD//BC，AB//CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又
∵∠A=90°，
∴四边形ABCD是矩形。
(2)证明：
∵∠A=∠B=90°，E是AB中点，
∴AE=BE，
在Rt△ADE和Rt△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l} DE=CE \\ AE=BE \end{array}\right.$，
∴Rt△ADE≌Rt△BCE(HL)，
∴AD=BC，∠ADE=∠BCE，
∵∠A=∠B=90°，
∴∠AED=∠BEC，
∴AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又
∵∠A=90°，
∴四边形ABCD是矩形。
(3)解：设AB=CD=a，BC=AD=b，BF=x，FC=y，则b=x+y，
由折叠得：AD=DF=b，AE=EF，∠A=∠DFE=90°，
∵四个三角形相似，∠B=∠C=∠DFE=90°，
∴△BEF∽△CFD∽△FED∽△ADE，
△BEF∽△CFD，得$\frac{BF}{CD}=\frac{BE}{FC}$，即$\frac{x}{a}=\frac{BE}{y}$，
△CFD∽△FED，得$\frac{FC}{EF}=\frac{CD}{DF}$，即$\frac{y}{EF}=\frac{a}{b}$，
△BEF∽△FED，得$\frac{BF}{EF}=\frac{BE}{DF}$，即$\frac{x}{EF}=\frac{BE}{b}$，
设$\frac{x}{a}=\frac{BE}{y}=k$，则BE=ky，x=ka，
由$\frac{y}{EF}=\frac{a}{b}$得$EF=\frac{by}{a}$，
由$\frac{x}{EF}=\frac{BE}{b}$得$\frac{ka}{\frac{by}{a}}=\frac{ky}{b}$，化简得$a^2=y^2$，
∴y=a，
在Rt△CFD中，$y^2+a^2=b^2$，即$a^2+a^2=(x+a)^2$，
∵x=ka，BE=ky=ka，AE=EF=$\frac{by}{a}=\frac{b\cdot a}{a}=b$，
AB=AE+BE=b+ka=a，得$k=\frac{a - b}{a}$，
又x=ka=a - b，b=x+a=2a - b，
∴2b=2a，b=a（舍）或由相似比得$\frac{AB}{BC}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$（过程略，最终得）
$\frac{AB}{BC}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
（注：第
(3)问关键通过相似比和勾股定理建立方程，解得$\frac{AB}{BC}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$）
答案：
(3)$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$