《2025年一本通武汉出版社九年级数学上册北师大版核心板》

1. 用公式法解$-x^{2}+3x-1= 0$时,先写出a,b,c的值,则a,b,c依次为……………………………(A)
A.-1,3,-1
B.1,-3,-1
C.-1,-3,-1
D.1,3,1

答案： 解：对于一元二次方程$-x^{2}+3x-1=0$，其一般形式为$ax^{2}+bx+c=0$（$a\neq0$），所以$a=-1$，$b=3$，$c=-1$。
A

2. 若一元二次方程$ax^{2}+bx+c= 0(a≠0)$有两个实数根,则$b^{2}-4ac$满足的条件是 ………(D)
A.$b^{2}-4ac= 0$
B.$b^{2}-4ac＞0$
C.$b^{2}-4ac＜0$
D.$b^{2}-4ac≥0$

答案： 解：一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0(a≠0)$的根的判别式为$\Delta =b^{2}-4ac$。当$\Delta ＞0$时，方程有两个不相等的实数根；当$\Delta =0$时，方程有两个相等的实数根。题目中说方程有两个实数根，包含两个不相等和两个相等两种情况，所以$\Delta \geq 0$，即$b^{2}-4ac\geq 0$。
答案：D

3. (24自贡)关于x的方程$x^{2}+mx-2= 0$根的情况是………………………………………………(A)
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根

答案： 解：对于方程$x^{2}+mx - 2 = 0$，其中$a = 1$，$b = m$，$c=-2$。
判别式$\Delta=b^{2}-4ac=m^{2}-4×1×(-2)=m^{2}+8$。
因为$m^{2}\geq0$，所以$m^{2}+8＞0$，即$\Delta＞0$。
所以方程有两个不相等的实数根。
答案：A

4. (24上海)以下一元二次方程有两个相等实数根的是 ………………………………(D)
A.$x^{2}-6x= 0$
B.$x^{2}-9= 0$
C.$x^{2}-6x+6= 0$
D.$x^{2}-6x+9= 0$

答案： 解：对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0(a \neq 0)$，判别式$\Delta = b^2 - 4ac$。当$\Delta = 0$时，方程有两个相等实数根。
A. $x^2 - 6x = 0$，即$x^2 - 6x + 0 = 0$，$a = 1$，$b = -6$，$c = 0$，$\Delta = (-6)^2 - 4×1×0 = 36 ＞ 0$，有两个不相等实数根。
B. $x^2 - 9 = 0$，即$x^2 + 0x - 9 = 0$，$a = 1$，$b = 0$，$c = -9$，$\Delta = 0^2 - 4×1×(-9) = 36 ＞ 0$，有两个不相等实数根。
C. $x^2 - 6x + 6 = 0$，$a = 1$，$b = -6$，$c = 6$，$\Delta = (-6)^2 - 4×1×6 = 36 - 24 = 12 ＞ 0$，有两个不相等实数根。
D. $x^2 - 6x + 9 = 0$，$a = 1$，$b = -6$，$c = 9$，$\Delta = (-6)^2 - 4×1×9 = 36 - 36 = 0$，有两个相等实数根。
答案：D

5. k取何值时,关于x的一元二次方程$kx^{2}-12x+9= 0$.
(1)有两个不相等的实数根？
(2)有两个相等的实数根？
(3)没有实数根？

答案： 【解析】：
本题主要考察一元二次方程的根的判别式$\Delta = b^{2} - 4ac$的应用。
对于一元二次方程$ax^{2} + bx + c = 0$，其判别式为$\Delta = b^{2} - 4ac$。
当$\Delta ＞ 0$时，方程有两个不相等的实数根；
当$\Delta = 0$时，方程有两个相等的实数根；
当$\Delta ＜ 0$时，方程没有实数根。
对于给定的方程$kx^{2} - 12x + 9 = 0$，其中$a = k$，$b = -12$，$c = 9$。
首先，由于这是一个一元二次方程，所以系数$k \neq 0$。
接下来，我们计算判别式$\Delta$：
$\Delta = (-12)^{2} - 4 × k × 9 = 144 - 36k$
(1) 当方程有两个不相等的实数根时，需要满足$\Delta ＞ 0$，即：
$144 - 36k ＞ 0$
解这个不等式，我们得到：
$k ＜ 4$
但由于$k$是二次项系数，所以$k \neq 0$。
综上，当$k ＜ 4$且$k \neq 0$时，方程有两个不相等的实数根。
(2) 当方程有两个相等的实数根时，需要满足$\Delta = 0$，即：
$144 - 36k = 0$
解这个方程，我们得到：
$k = 4$
(3) 当方程没有实数根时，需要满足$\Delta ＜ 0$，即：
$144 - 36k ＜ 0$
解这个不等式，我们得到：
$k ＞ 4$
【答案】：
(1) 当$k ＜ 4$且$k \neq 0$时，方程有两个不相等的实数根；
(2) 当$k = 4$时，方程有两个相等的实数根；
(3) 当$k ＞ 4$时，方程没有实数根。

6. 用公式法解方程：
(1)$x^{2}+8x= -16$；
(2)$x^{2}-x+5= 0$；
(3)$2x^{2}+4x+1= 0$；
(4)$3x^{2}-6x+1= 0$.

答案： 【解析】：
本题主要考查用公式法解一元二次方程。公式法即使用一元二次方程的求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$来求解方程。
对于一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0$，其求根公式为：
$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，
其中，$\Delta=b^{2}-4ac$，当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根；当$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根；当$\Delta＜0$时，方程没有实数根。
接下来，我们分别对每个方程进行求解：
(1) 对于方程$x^{2}+8x=-16$，可以将其改写为标准形式$x^{2}+8x+16=0$，其中$a=1, b=8, c=16$。
(2) 对于方程$x^{2}-x+5=0$，已经是标准形式，其中$a=1, b=-1, c=5$。
(3) 对于方程$2x^{2}+4x+1=0$，已经是标准形式，其中$a=2, b=4, c=1$。
(4) 对于方程$3x^{2}-6x+1=0$，已经是标准形式，其中$a=3, b=-6, c=1$。
然后计算每个方程的判别式$\Delta=b^{2}-4ac$，并根据判别式的值使用求根公式求解。
【答案】：
(1) 解：
原方程为$x^{2}+8x+16=0$，
其中$a=1, b=8, c=16$，
判别式$\Delta=b^{2}-4ac=8^{2}-4×1×16=64-64=0$，
因为$\Delta=0$，所以方程有两个相等的实数根，
使用求根公式得：
$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-8\pm\sqrt{0}}{2×1}=-4$，
所以，$x_{1}=x_{2}=-4$。
(2) 解：
原方程为$x^{2}-x+5=0$，
其中$a=1, b=-1, c=5$，
判别式$\Delta=b^{2}-4ac=(-1)^{2}-4×1×5=1-20=-19$，
因为$\Delta＜0$，所以方程没有实数根。
(3) 解：
原方程为$2x^{2}+4x+1=0$，
其中$a=2, b=4, c=1$，
判别式$\Delta=b^{2}-4ac=4^{2}-4×2×1=16-8=8$，
因为$\Delta＞0$，所以方程有两个不相等的实数根，
使用求根公式得：
$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-4\pm\sqrt{8}}{2×2}=\frac{-4\pm2\sqrt{2}}{4}=\frac{-2\pm\sqrt{2}}{2}$，
所以，$x_{1}=\frac{-2+\sqrt{2}}{2}$，$x_{2}=\frac{-2-\sqrt{2}}{2}$。
(4) 解：
原方程为$3x^{2}-6x+1=0$，
其中$a=3, b=-6, c=1$，
判别式$\Delta=b^{2}-4ac=(-6)^{2}-4×3×1=36-12=24$，
因为$\Delta＞0$，所以方程有两个不相等的实数根，
使用求根公式得：
$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-(-6)\pm\sqrt{24}}{2×3}=\frac{6\pm2\sqrt{6}}{6}=\frac{3\pm\sqrt{6}}{3}$，
所以，$x_{1}=\frac{3+\sqrt{6}}{3}$，$x_{2}=\frac{3-\sqrt{6}}{3}$。