《2025年一本通武汉出版社九年级数学上册北师大版核心板》

1. 不能判定△ABC与△DEF相似的条件是 ………………………………(D)
A.∠A= ∠D,∠B= ∠F
B.$\frac{AB}{DE}= \frac{BC}{DF}$,∠B= ∠D
C.$\frac{AB}{DE}= \frac{BC}{DF}= \frac{AC}{EF}$
D.$\frac{AB}{DE}= \frac{AC}{EF}$,∠B= ∠D

答案： 解：A. 两角对应相等的两个三角形相似，∠A=∠D，∠B=∠F，能判定相似。
B. 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，$\frac{AB}{DE}= \frac{BC}{DF}$，∠B=∠D（夹角），能判定相似。
C. 三边对应成比例的两个三角形相似，$\frac{AB}{DE}= \frac{BC}{DF}= \frac{AC}{EF}$，能判定相似。
D. $\frac{AB}{DE}= \frac{AC}{EF}$，∠B=∠D，非对应两边的夹角相等，不能判定相似。
答案：D

2. 如图,△ABC与△DEF是否相似?为什么?

答案： 【解析】：本题考查相似三角形的判定定理。
相似三角形的判定定理：
如果两个三角形的三组对应边的比值相等，‌那么这两个三角形相似。
题目给出了两个三角形$\bigtriangleup ABC$和$\bigtriangleup DEF$，并给出了它们各边的长度。
对于$\bigtriangleup ABC$：$AB = 3cm$，$BC = 3.5cm$，$AC = 2.5cm$。
对于$\bigtriangleup DEF$：$DE = 3.6cm$，$EF = 4.2cm$，$DF = 3cm$。
计算两个三角形对应边的比值：
$\frac{AB}{DE} = \frac{3}{3.6} = \frac{5}{6}$，
$\frac{AC}{DF} = \frac{2.5}{3} = \frac{5}{6}$，
$\frac{BC}{EF} = \frac{3.5}{4.2} = \frac{5}{6}$，
发现$\bigtriangleup ABC$和$\bigtriangleup DEF$的三组对应边的比值都相等，即：
$\frac{AB}{DE} = \frac{AC}{DF} = \frac{BC}{EF} =\frac{5}{6}$。
【答案】：$\bigtriangleup ABC \sim \bigtriangleup DEF$；
理由：通过计算两个三角形对应边的比值，发现它们的三组对应边的比值都相等，即：
$\frac{AB}{DE} = \frac{AC}{DF} = \frac{BC}{EF} =\frac{5}{6}$，
所以根据相似三角形的判定定理，$\bigtriangleup ABC$与$\bigtriangleup DEF$相似。

3. 如图,$\frac{AB}{AD}= \frac{BC}{DE}= \frac{AC}{AE}$且B,D,E三点在一条直线上,求证:∠BAD= ∠CAE.

答案： 【解析】：本题可根据已知条件判断三角形相似，再利用相似三角形的性质来证明角相等。题目中给出了三边对应成比例的条件$\frac{AB}{AD}= \frac{BC}{DE}= \frac{AC}{AE}$，由此可判断$\triangle ABC$与$\triangle ADE$相似，再根据相似三角形的性质得出对应角相等，进而证明$\angle BAD = \angle CAE$。
【答案】：证明：
∵$\frac{AB}{AD}= \frac{BC}{DE}= \frac{AC}{AE}$
∴$\triangle ABC\sim\triangle ADE$（三边对应成比例的两个三角形相似）
∴$\angle BAC = \angle DAE$（相似三角形的对应角相等）
∵$\angle BAC=\angle BAD+\angle DAC$，$\angle DAE=\angle CAE+\angle DAC$
∴$\angle BAD+\angle DAC=\angle CAE+\angle DAC$
∴$\angle BAD = \angle CAE$

4. 如图,每个小正方形的边长均为1,则下列图形中的阴影三角形与$△A_1B_1C_1$相似的是 ( D )

A.
B.
C.
D.

答案： 【解析】：
本题考查的知识点是相似三角形的判定定理，即如果两个三角形的三边对应成比例，那么这两个三角形相似。
需要分别计算出四个选项中阴影三角形的三边长度，再与$△A_1B_1C_1$的三边长度进行比较，判断是否成比例。
对于A选项：
三边长分别为$2$，$\sqrt{5}$，$\sqrt{13}$，
而$△A_1B_1C_1$三边长分别为$1$，$2$，$\sqrt{5}$，
因为$\frac{2}{1} \neq \frac{\sqrt{5}}{2}\neq \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{5}}$，三边对应不成比例，所以A选项错误。
对于B选项：
三边长分别为$1$，$\sqrt{2}$，$\sqrt{5}$，
而$△A_1B_1C_1$三边长分别为$1$，$2$，$\sqrt{5}$，
因为$\frac{1}{1} \neq \frac{\sqrt{2}}{2}\neq \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$，三边对应不成比例，所以B选项错误。
对于C选项：
三边长分别为$1$，$\sqrt{5}$，$2\sqrt{2}$，
而$△A_1B_1C_1$三边长分别为$1$，$2$，$\sqrt{5}$，
因为$\frac{1}{1} \neq \frac{\sqrt{5}}{2}\neq \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$，三边对应不成比例，所以C选项错误。
对于D选项：
三边长分别为$2$，$2\sqrt{2}$，$2\sqrt{5}$，
而$△A_1B_1C_1$三边长分别为$1$，$2$，$\sqrt{5}$，
因为$\frac{2}{1} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=2$，三边对应成比例，所以D选项正确。
【答案】：D。

5. 如图,在8×8的正方形网格中,△CAB和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上,AC与网格上的直线相交于点M.
(1)填空:AC=2√5,AB=2√10;
(2)判断△CAB和△DEF是否相似?并说明理由.
解：△CAB∽△DEF。理由如下：
由网格可知，BC=2√5，DE=√2，EF=√2，DF=2。
∵AC/DE=2√5/√2=√10，BC/EF=2√5/√2=√10，AB/DF=2√10/2=√10，
∴AC/DE=BC/EF=AB/DF，
∴△CAB∽△DEF。

答案：
(1) $AC=2\sqrt{5}$，$AB=2\sqrt{10}$；
(2) 解：$\triangle CAB \sim \triangle DEF$。理由如下：
由网格可知，$BC=2\sqrt{5}$，$DE=\sqrt{2}$，$EF=\sqrt{2}$，$DF=2$。
$\because \frac{AC}{DE}=\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{2}}=\sqrt{10}$，$\frac{BC}{EF}=\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{2}}=\sqrt{10}$，$\frac{AB}{DF}=\frac{2\sqrt{10}}{2}=\sqrt{10}$，
$\therefore \frac{AC}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{AB}{DF}$，
$\therefore \triangle CAB \sim \triangle DEF$。