《2025年一本通武汉出版社九年级数学上册北师大版核心板》

9.(24南京)已知$4-\sqrt{15}是关于x的方程(x-2)(ax^{2}+bx+c)= 0$($a$,$b$,$c$是有理数,$a\neq0$)的一个根,则该方程的另外两个根分别是______2,______$4+\sqrt{15}$.

答案： 解：方程$(x - 2)(ax^2 + bx + c)=0$，
由$x - 2 = 0$，得$x_1=2$。
因为$4-\sqrt{15}$是方程的根，且$a$，$b$，$c$是有理数，$a\neq0$，
所以$ax^2 + bx + c = 0$是有理系数一元二次方程，其无理根成对出现，
则$4+\sqrt{15}$也是$ax^2 + bx + c = 0$的根。
故该方程的另外两个根分别是$2$，$4 + \sqrt{15}$。
$2$；$4+\sqrt{15}$

10. 用适当的方法解下列方程：
(1)$(x+4)^{2}= 5(x+4)$；
(2)$2x^{2}-10x= 3$.

答案： 【解析】：
本题考查的是一元二次方程的求解，具体涉及到因式分解法和公式法求解一元二次方程。
对于第一个方程，我们可以通过移项和因式分解来求解；
对于第二个方程，由于它不是一个完全平方的形式，我们需要先将其转化为标准形式，然后利用公式法求解。
【答案】：
(1) 解：
原方程为 $(x+4)^{2}= 5(x+4)$，
移项得 $(x+4)^{2} - 5(x+4) = 0$，
因式分解得 $(x+4)(x+4-5) = 0$，
即 $(x+4)(x-1) = 0$，
解得 $x_{1} = -4$，$x_{2} = 1$。
(2) 解：
原方程为 $2x^{2}-10x= 3$，
移项得 $2x^{2}-10x-3 = 0$，
其中，$a = 2$，$b = -10$，$c = -3$，
计算判别式 $\Delta = b^{2} - 4ac = (-10)^{2} - 4 × 2 × (-3) = 100 + 24 = 124$，
由于 $\Delta ＞ 0$，方程有两个不相等的实数根，
根据公式法，解得 $x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{10 \pm \sqrt{124}}{4} = \frac{5 \pm \sqrt{31}}{2}$，
即 $x_{1} = \frac{5 + \sqrt{31}}{2}$，$x_{2} = \frac{5 - \sqrt{31}}{2}$。

11.(龙华模拟)小韦在解方程$x^{2}-50x+600= 0$时突发奇想,按照如下步骤进行：
①将原方程中一次项系数除以10,常数项除以100,得到新方程$x^{2}-5x+6= 0$；
②解得新方程的两个根分别是$m和n$；
③将$m和n$分别乘10,得到原方程的两个根$x_{1}$,$x_{2}$.
(1)求$m和n$的值；
(2)请你说明其中的道理.

答案： 【解析】：
本题主要考察一元二次方程的求解及理解能力。
(1)部分可以直接通过求解新方程得到$m$和$n$的值。
(2)部分需要理解小韦的方法，即通过等比例变换简化方程求解，然后再通过逆变换得到原方程的解。
具体步骤如下：
(1)首先，我们解新方程$x^{2} - 5x + 6 = 0$。
这是一个一元二次方程，可以通过因式分解或者使用求根公式来解。
这里，我们选择因式分解法。
方程可以写为：
$(x - 2)(x - 3) = 0$
由此，我们可以得到方程的两个根：
$x_1 = 2, x_2 = 3$
所以，$m = 2, n = 3$。
(2)接下来，我们说明小韦的方法的道理。
首先，小韦将原方程$x^{2} - 50x + 600 = 0$的一次项系数除以10，常数项除以100，得到新方程$x^{2} - 5x + 6 = 0$。
这个变换实际上是将原方程中的$x$替换为$10x$，从而得到新方程。
因此，新方程的解$m$和$n$对应于原方程中的$10m$和$10n$。
具体来说，如果$m$是新方程的一个解，那么$10m$就是原方程的一个解。
同理，$n$是新方程的另一个解，那么$10n$就是原方程的另一个解。
这样，我们就可以通过解新方程来得到原方程的解。
【答案】：
(1)$m = 2, n = 3$
(2)道理说明：
设原方程$x^{2} - 50x + 600 = 0$，
经过小韦的变换，我们得到新方程$x^{2} - 5x + 6 = 0$。
如果$m$是新方程的一个解，即满足：
$m^{2} - 5m + 6 = 0$
那么，将$x$替换为$10x$，我们得到：
$(10m)^{2} - 50 × 10m + 600 = 0$
化简后得到：
$100m^{2} - 500m + 600 = 0$
除以100，得到：
$m^{2} - 5m + 6 = 0$
这正是新方程的形式，说明$10m$是原方程的一个解。
同理，$10n$也是原方程的一个解。
因此，小韦的方法是通过等比例变换简化方程求解，然后再通过逆变换得到原方程的解。