《2025年一本通武汉出版社九年级数学上册北师大版核心板》

1. 4 的平方根是 …………………………………………………………………………(C)
A.±16
B.16
C.±2
D.2

答案： 【解析】：
本题主要考察平方根的定义。平方根是一个数，它的平方等于给定的数。例如，如果$a^2 = b$，那么$a$是$b$的平方根。需要注意的是，一个正数的平方根有两个值，一个正数和一个负数，因为两个数的平方都是正数。
根据平方根的定义，我们需要找到一个数，它的平方等于4。显然，$2^2 = 4$ 和 $(-2)^2 = 4$，所以4的平方根是±2。
【答案】：
C. ±2

2. 方程$x^{2}= 9$的根是 …………………………………………………………………(B)
A.3
B.-3 或 3
C.-3
D.9

答案： 解：方程$x^{2}=9$，
两边开平方得$x = \pm\sqrt{9}$，
即$x = 3$或$x = -3$。
答案：B

3. 方程$x^{2}= 3$的根是 …………………………………………………………………(D)
A.$x= 3$
B.$x_{1}= 3,x_{2}= -3$
C.$x= \sqrt{3}$
D.$x_{1}= \sqrt{3},x_{2}= -\sqrt{3}$

答案： 解：方程$x^{2}=3$，
两边开平方，得$x=\pm\sqrt{3}$，
即$x_{1}=\sqrt{3}$，$x_{2}=-\sqrt{3}$。
答案：D

4. 方程$(x-3)^{2}= 0$的根是 ……………………………………………………………(B)
A.$x_{1}= -3,x_{2}= 3$
B.$x_{1}= x_{2}= 3$
C.$x_{1}= x_{2}= -3$
D.$x_{1}= \sqrt{3},x_{2}= -\sqrt{3}$

答案： 解：方程$(x - 3)^2 = 0$，
开平方得$x - 3 = 0$，
解得$x_1 = x_2 = 3$。
答案：B

5. 方程$(x-2)^{2}= 9$的解是 ……………………………………………………………(A)
A.$x_{1}= 5,x_{2}= -1$
B.$x_{1}= -5,x_{2}= 1$
C.$x_{1}= 11,x_{2}= -7$
D.$x_{1}= -11,x_{2}= 7$

答案： 解：方程两边开平方，得
$x - 2 = \pm 3$
即$x - 2 = 3$或$x - 2 = -3$
解得$x_1 = 5$，$x_2 = -1$
答案：A

6. (南山期末)关于 x 的一元二次方程$x^{2}+3x+a^{2}-1= 0$有一个根是 0,则 a 的值为 ……(B)
A.0
B.1 或-1
C.-1
D.1

答案： 解：因为方程$x^{2}+3x+a^{2}-1=0$有一个根是$0$，将$x=0$代入方程得：
$0^{2}+3×0 + a^{2}-1=0$
即$a^{2}-1=0$
解得$a^{2}=1$
所以$a=1$或$a=-1$
答案：B

7. 将下列各式配方：
(1)$x^{2}-4x+$4$=(x-$2$)^{2}$；
(2)$x^{2}-2x+$1$=(x-$1$)^{2}$；
(3)$x^{2}+6x+$9$=(x+$3$)^{2}$；
(4)$a^{2}\pm$2a$+\frac{1}{4}= (a\pm$$\frac{1}{2}$$)^{2}$。

答案： 【解析】：
本题考查的是利用配方法将一元二次方程转化为完全平方的形式。配方法的关键是找到一个数，使得方程的一部分可以写成一个平方的形式。
对于形如$x^2 + bx$的式子，为了使其变为完全平方，我们需要加上$(\frac{b}{2})^2$。
(1) 对于$x^2 - 4x$，其中$b = -4$，所以需要加上的数是$(\frac{-4}{2})^2 = 4$，配方后得到$(x - 2)^2$。
(2) 对于$x^2 - 2x$，其中$b = -2$，所以需要加上的数是$(\frac{-2}{2})^2 = 1$，配方后得到$(x - 1)^2$。
(3) 对于$x^2 + 6x$，其中$b = 6$，所以需要加上的数是$(\frac{6}{2})^2 = 9$，配方后得到$(x + 3)^2$。
(4) 对于$a^2 \pm \underline{\hspace{1em}}$，要使其变为完全平方，考虑到常数项是$\frac{1}{4}$，即$(\frac{1}{2})^2$，所以中间的项应为$2 × a × \frac{1}{2} = a$（考虑正负情况），配方后得到$(a \pm \frac{1}{2})^2$。
【答案】：
(1) $4$；$2$
(2) $1$；$1$
(3) $9$；$3$
(4) $2a$（或 $-2a$）；$\frac{1}{2}$

8. 解方程：
(1)$4(x+1)^{2}= 16$；
(2)$4(x-1)^{2}-9= 0$；
(3)$x^{2}+4x-1= 0$；
(4)$x^{2}-10x+8= 0$。

答案：
(1)解：$4(x+1)^{2}=16$
$(x+1)^{2}=4$
$x+1=\pm 2$
$x+1=2$或$x+1=-2$
$x_{1}=1$，$x_{2}=-3$
(2)解：$4(x-1)^{2}-9=0$
$4(x-1)^{2}=9$
$(x-1)^{2}=\frac{9}{4}$
$x-1=\pm \frac{3}{2}$
$x-1=\frac{3}{2}$或$x-1=-\frac{3}{2}$
$x_{1}=\frac{5}{2}$，$x_{2}=-\frac{1}{2}$
(3)解：$x^{2}+4x-1=0$
$x^{2}+4x=1$
$x^{2}+4x+4=1+4$
$(x+2)^{2}=5$
$x+2=\pm \sqrt{5}$
$x_{1}=-2+\sqrt{5}$，$x_{2}=-2-\sqrt{5}$
(4)解：$x^{2}-10x+8=0$
$x^{2}-10x=-8$
$x^{2}-10x+25=-8+25$
$(x-5)^{2}=17$
$x-5=\pm \sqrt{17}$
$x_{1}=5+\sqrt{17}$，$x_{2}=5-\sqrt{17}$