《2025年一本通武汉出版社九年级数学上册北师大版核心板》

3.在平面内,先将一个多边形以点O为位似中心放大或缩小,使所得多边形与原多边形对应线段的比为k,并且原多边形上的任一点P,它的对应点P'在线段OP或其延长线上；接着将所得多边形以点O为旋转中心,逆时针旋转一个角度$\theta$,记为$O(k,逆\theta)$,如果是顺时针旋转一个角度$\theta$,则记为$O(k,顺\theta)$,这种经过相似和旋转的图形变换叫做旋转相似变换,其中点O叫做旋转相似中心,k叫做相似比,$\theta$叫做旋转角.
(1)填空：
①如图1,将$\triangle ABC$以点A为旋转相似中心,放大为原来的2倍,再逆时针旋转$60^\circ$,得到$\triangle ADE$,这个旋转相似变换记为A(______,______)；
②如图2,$\triangle ABC$是边长为1cm的等边三角形,将它作旋转相似变换$A(\sqrt{3},逆90^\circ)$,得到$\triangle ADE$,则线段BD的长为______cm.
(2)如图3,$\triangle ABC经过B(k_1,逆\alpha)得到\triangle EBD$,又将$\triangle ABC经过C(k_2,顺\beta)得到\triangle FDC$,连接AE,AF,求证：四边形AFDE是平行四边形.
(3)如图4,在$\triangle ABC$中,$\angle A= 150^\circ$,$AB= 6$,$AC= 3$,若$\triangle ABC$经过(2)中的变换得到的四边形AFDE恰好是正方形,则AE的长为______.

答案：