《2025年一本通武汉出版社九年级数学上册北师大版核心板》

1. 小英同学试图用特殊到一般的思想方法来研究平行四边形对角线与边长的关系,下面是她的思考过程.
【操作判断】(1)如图1,正方形ABCD的边长为a,则$AC^{2}+BD^{2}= 4a^{2}.$
如图2,菱形ABCD的边长为a,则$AC^{2}+BD^{2}=$$4a^{2}$.(请用含a的代数式表示)
【性质探究】(2)①如图3,在矩形ABCD中,$AB= a,BC= b$,则$AC^{2}+BD^{2}=$$2a^{2}+2b^{2}$;(请用含a,b的代数式表示)
②如图4,在$□ ABCD$中,$AB= a,BC= b$,猜想$AC^{2}+BD^{2}$与a,b的数量关系,并说明理由.
【拓展应用】(3)如图4,在$□ ABCD$中,$AB= 4,BC= 2\sqrt {13},OA= 3$,将点B绕点O旋转,点B的对应点为$B'$,在旋转的过程中,当$OB'// CD$时,$DB'$的长为$5$或$\sqrt{97}$.

答案：
(1) $4a^{2}$
(2)① $2a^{2}+2b^{2}$
②猜想：$AC^{2}+BD^{2}=2a^{2}+2b^{2}$
证明：过点$A$作$AE\perp BC$于点$E$，过点$D$作$DF\perp BC$交$BC$延长线于点$F$，设$BE=x$，$AE=DF=h$，则$CF=x$，$EF=BC=b$。在$Rt\triangle AEC$中，$AC^{2}=(b-x)^{2}+h^{2}$；在$Rt\triangle BDF$中，$BD^{2}=(b+x)^{2}+h^{2}$。$AC^{2}+BD^{2}=(b-x)^{2}+h^{2}+(b+x)^{2}+h^{2}=2b^{2}+2x^{2}+2h^{2}$。在$Rt\triangle ABE$中，$x^{2}+h^{2}=a^{2}$，$\therefore AC^{2}+BD^{2}=2a^{2}+2b^{2}$。
(3) $5$或$\sqrt{97}$