《2025年一本通武汉出版社九年级数学上册北师大版核心板》

1. 如图,$l_{1}// l_{2}// l_{3}$,下列各式不一定成立的是……………………………………(C)

A.$\frac{AB}{BC}= \frac{DE}{EF}$
B.$\frac{AB}{AC}= \frac{DE}{DF}$
C.$\frac{AD}{BE}= \frac{BE}{CF}$
D.$\frac{EF}{FD}= \frac{BC}{CA}$

答案： 【解析】：
本题可根据平行线分线段成比例定理来逐一分析选项。
平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
选项A：$\frac{AB}{BC}= \frac{DE}{EF}$
因为$l_{1}// l_{2}// l_{3}$，根据平行线分线段成比例定理，三条平行线截直线$AC$和$DF$，所得的对应线段成比例，所以$\frac{AB}{BC}= \frac{DE}{EF}$，该式一定成立。
选项B：$\frac{AB}{AC}= \frac{DE}{DF}$
同样因为$l_{1}// l_{2}// l_{3}$，三条平行线截直线$AC$和$DF$，所得的对应线段成比例，所以$\frac{AB}{AC}= \frac{DE}{DF}$，该式一定成立。
选项C：$\frac{AD}{BE}= \frac{BE}{CF}$
由$l_{1}// l_{2}// l_{3}$，可得$\frac{AD}{BE}=\frac{AB}{BC}$，$\frac{BE}{CF}=\frac{BC}{CF}$，仅根据平行线分线段成比例定理无法得出$\frac{AD}{BE}= \frac{BE}{CF}$，该式不一定成立。
选项D：$\frac{EF}{FD}= \frac{BC}{CA}$
因为$l_{1}// l_{2}// l_{3}$，三条平行线截直线$DF$和$AC$，根据平行线分线段成比例定理的推论（颠倒分子分母位置比例关系仍然成立），可得$\frac{EF}{FD}= \frac{BC}{CA}$，该式一定成立。
【答案】：C

2. 如图,$AB// CD// EF$,那么下列结论正确的是 …………………………………………(A)
A.$\frac{CE}{CB}= \frac{DF}{DA}$
B.$\frac{AD}{DF}= \frac{CE}{BC}$
C.$\frac{CD}{EF}= \frac{AD}{AF}$
D.$\frac{CE}{BE}= \frac{AF}{AD}$

答案： 解：
∵AB//CD//EF，
∴由平行线分线段成比例定理得：
$\frac{AD}{DF}=\frac{BC}{CE}$，即$\frac{AD}{DF}=\frac{CE}{BC}$不成立，B错误；
$\frac{AD}{AF}=\frac{BC}{BE}$，CD与EF不是对应线段，C错误；
$\frac{CE}{BE}=\frac{DF}{AF}$，D错误；
$\frac{CE}{CB}=\frac{DF}{DA}$，A正确。
答案：A

3.(24哈尔滨)如图,在四边形$ABCD$中,$AD// BC$,点$E在AB$上,$EF// AD交CD于点F$. 若$AE:BE= 1:2$,$DF= 3$,则$FC$的长为6.

答案： 【解析】：本题主要考查平行线分线段成比例定理。
由于$AD// EF// BC$，
根据平行线分线段成比例定理，
得$\frac{AE}{BE}=\frac{DF}{FC}$，
因为$AE:BE=1:2$，$DF=3$，
所以$\frac{1}{2}=\frac{3}{FC}$，
解得$FC=6$。
【答案】：6。

4. 如图,在$\triangle ABC$中,$DE// BC$,$AD= 2$,$AB= 6$,$AE= 3$,则$AC$的长为9.

答案： 【解析】：
本题考查了平行线分线段成比例定理的运用。
根据平行线分线段成比例定理，当两条直线平行时，它们所截的线段之间的比例是相等的。
即，如果$DE // BC$，则有$\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}$。
【答案】：
∵$DE // BC$，
∴$\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}$（平行线分线段成比例定理），
代入已知条件$AD = 2$，$AB = 6$，$AE = 3$，得：
$\frac{2}{6} = \frac{3}{AC}$，
解这个方程，我们得到：
$AC = \frac{3 × 6}{2} = 9$。
故答案为$9$。

5. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle ACB的平分线CD交AB于点D$,过点$B作BE// CD交AC的延长线于点E$. (1)求证：$BC= CE$；(2)求证：$\frac{AD}{BD}= \frac{AC}{BC}$.

答案： 【解析】：
(1) 本题可根据角平分线的性质和平行线的性质得到相等的角，再根据等角对等边来证明$BC = CE$。
(2) 本题可通过证明三角形相似，再根据相似三角形的性质得到线段比例关系，进而证明$\frac{AD}{BD}=\frac{AC}{BC}$。
(1)证明：
∵$CD$平分$\angle ACB$，
∴$\angle ACD = \angle BCD$。
∵$BE// CD$，
∴$\angle E = \angle ACD$（两直线平行，同位角相等），$\angle CBE = \angle BCD$（两直线平行，内错角相等）。
∴$\angle E = \angle CBE$。
∴$BC = CE$（等角对等边）。
(2)证明：
∵$BE// CD$，
∴$\triangle ACD\sim\triangle AEB$（平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似）。
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{AC}{AE}$。
∵$AB = AD + BD$，$AE = AC + CE$，且由
(1)知$BC = CE$。
∴$\frac{AD}{AD + BD}=\frac{AC}{AC + BC}$。
交叉相乘可得：
$AD(AC + BC)=AC(AD + BD)$
$AD\cdot AC+AD\cdot BC=AC\cdot AD+AC\cdot BD$
$AD\cdot BC=AC\cdot BD$
∴$\frac{AD}{BD}=\frac{AC}{BC}$。
【答案】：
(1)证明：
∵$CD$平分$\angle ACB$，
∴$\angle ACD = \angle BCD$。
∵$BE// CD$，
∴$\angle E = \angle ACD$，$\angle CBE = \angle BCD$。
∴$\angle E = \angle CBE$。
∴$BC = CE$。
(2)证明：
∵$BE// CD$，
∴$\triangle ACD\sim\triangle AEB$。
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{AC}{AE}$。
∵$AB = AD + BD$，$AE = AC + CE$，且$BC = CE$。
∴$\frac{AD}{AD + BD}=\frac{AC}{AC + BC}$。
交叉相乘得$AD\cdot BC=AC\cdot BD$。
∴$\frac{AD}{BD}=\frac{AC}{BC}$。

6. 如图,$DE// BC$,$EF// CG$,$AD:AB= 1:3$,$AE= 3$.
(1)求$EC$的长；(2)求证：$AD\cdot AG= AF\cdot AB$.

答案：
(1)解：
∵DE//BC，
∴AD/AB=AE/AC，
∵AD:AB=1:3，AE=3，
∴1/3=3/AC，
∴AC=9，
∴EC=AC-AE=9-3=6。
(2)证明：
∵DE//BC，
∴AD/AB=AE/AC，
∵EF//CG，
∴AF/AG=AE/AC，
∴AD/AB=AF/AG，
∴AD·AG=AF·AB。