《2025年一本通武汉出版社九年级数学上册北师大版核心板》

1.阅读:要说明代数式$2x^2+8x+10$的值恒大于0,或恒等于0,或者恒小于0,我们可以将它配成一个平方式加上一个常数的形式,再去考虑,具体过程如下:
解$:2x^2+8x+10$
$=2(x^2+4x+5)($提公因式,得到一个二次项系数为1的二次多项式)
$=2(x^2+4x+2^2-2^2+5)$
$=2[(x+2)^2+1]($将二次多项式配成完全平方形式)
$=2(x+2)^2+2($去掉中括号).
因此,当x= -2时,原式有最小值2.
请仿照上例,说明当x为何值时$,-2x^2-8x-10$存在最大值或最小值.

答案： 【解析】：
本题要求说明代数式$-2x^2-8x-10$在何时取得最大值或最小值。
首先，我们需要将代数式$-2x^2-8x-10$进行配方，将其转化为一个平方项加一个常数的形式。
这样，我们就可以通过观察平方项的最小值（或最大值，取决于平方项前的系数）来确定原代数式的最大值或最小值。
具体过程如下：
1. 提取代数式$-2x^2-8x-10$中的二次项和一次项的公因子$-2$，得到$-2(x^2+4x+5)$。
2. 对$x^2+4x$进行配方，即加上和减去$4$（因为$4$是$4x$的一半的平方），得到$-2(x^2+4x+4-4+5)$。
3. 将$x^2+4x+4$写成$(x+2)^2$的形式，得到$-2[(x+2)^2-4+5]$。
4. 简化上述表达式，得到$-2(x+2)^2-2$。
由于平方项$(x+2)^2$的最小值为$0$（平方项总是非负的），且因为前面有负系数$-2$，
所以$-2(x+2)^2$的最大值为$0$。
因此，当$x=-2$时，$-2(x+2)^2-2$取得最大值，即$-2$。
【答案】：
解：
$-2x^2-8x-10$
$=-2(x^2+4x+5)$
$=-2(x^2+4x+2^2-2^2+5)$
$=-2[(x+2)^2+1]$
$=-2(x+2)^2-2$
因此，当$x=-2$时，原式有最大值$-2$。

2.求$x^2+3x-1$的最小值.

答案： 解：$x^2 + 3x - 1$
$=x^2 + 3x + \left(\frac{3}{2}\right)^2 - \left(\frac{3}{2}\right)^2 - 1$
$=\left(x + \frac{3}{2}\right)^2 - \frac{9}{4} - 1$
$=\left(x + \frac{3}{2}\right)^2 - \frac{13}{4}$
因为$\left(x + \frac{3}{2}\right)^2 \geq 0$，所以当$x = -\frac{3}{2}$时，$\left(x + \frac{3}{2}\right)^2 = 0$，此时$x^2 + 3x - 1$取得最小值为$-\frac{13}{4}$。
答：$x^2 + 3x - 1$的最小值为$-\frac{13}{4}$。

3.求$-1/2x^2+3x+15/2$的最大值.

答案： 解：对于二次函数$y = -\frac{1}{2}x^2 + 3x + \frac{15}{2}$，其中$a = -\frac{1}{2}$，$b = 3$，$c = \frac{15}{2}$。
因为$a = -\frac{1}{2} ＜ 0$，所以函数图象开口向下，函数有最大值。
对称轴为$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{3}{2×(-\frac{1}{2})} = 3$。
将$x = 3$代入函数得：
$y = -\frac{1}{2}×3^2 + 3×3 + \frac{15}{2}$
$= -\frac{1}{2}×9 + 9 + \frac{15}{2}$
$= -\frac{9}{2} + 9 + \frac{15}{2}$
$= (-\frac{9}{2} + \frac{15}{2}) + 9$
$= 3 + 9$
$= 12$
所以，该函数的最大值为$12$。

4.求$x^2+y^2-4x+6y+28$的最小值.

答案： 解：$x^2 + y^2 - 4x + 6y + 28$
$=x^2 - 4x + 4 + y^2 + 6y + 9 + 15$
$=(x - 2)^2 + (y + 3)^2 + 15$
因为$(x - 2)^2 \geq 0$，$(y + 3)^2 \geq 0$，
所以当$x - 2 = 0$且$y + 3 = 0$，即$x = 2$，$y = -3$时，
$(x - 2)^2 + (y + 3)^2$取得最小值$0$。
因此，原式的最小值为$0 + 15 = 15$。
答：$x^2 + y^2 - 4x + 6y + 28$的最小值为$15$。

5.求$x^2-2xy+2y^2+2y+5$的最值.

答案： 【解析】：
本题主要考察完全平方公式的运用以及二次函数的最值问题。
首先，我们将原式进行配方，尝试将其转化为完全平方的形式。
原式可以写为：
$x^2-2xy+2y^2+2y+5$
$= (x^2-2xy+y^2) + (y^2+2y+1) + 4$
$= (x-y)^2 + (y+1)^2 + 4$
由于平方项$(x-y)^2$和$(y+1)^2$都是非负的，所以它们的和的最小值出现在两者都为0的时候，即$x=y$且$y=-1$时，此时原式取得最小值。
【答案】：
解：
$x^2-2xy+2y^2+2y+5$
$= (x^2-2xy+y^2) + (y^2+2y+1) + 4$
$= (x-y)^2 + (y+1)^2 + 4$
∵$(x-y)^2 \geq 0$，$(y+1)^2 \geq 0$，
∴当$x=y=-1$时，原式取得最小值4。

6.已知某种产品的成本价为每千克20元,市场调查发现,该产品每天的销售量y(千克)与销售价x(元/千克)有如下关系:y= -2x+80.设这种产品每天的销售利润为w元.
(1)求w与x之间的函数关系式;
(2)该产品销售价定为每千克多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少元?

答案： 【解析】：
本题主要考察的是一元二次方程的应用，特别是如何利用一元二次方程求解实际问题中的最值问题。
(1)首先，需要根据题目给出的成本价和销售量与销售价的关系，求出销售利润与销售价之间的函数关系式。
销售利润等于每千克的利润乘以销售量，即$w = (x - 20) × y$。
由于销售量$y$与销售价$x$的关系为$y = -2x + 80$，代入上式，即可得到$w$与$x$之间的函数关系式。
(2)接下来，需要求这个函数的最大值。
由于这是一个开口向下的一元二次函数（系数$a = -2 ＜ 0$），其最大值出现在对称轴上，对称轴的公式为$x = -\frac{b}{2a}$。
将函数式化为顶点式，即可求出最大值及其对应的销售价。
【答案】：
(1)解：根据销售利润的定义，有$w = (x - 20) × y$。
由于$y = -2x + 80$，代入上式得：
$w = (x - 20) × (-2x + 80)$
$w = -2x^2 + 120x - 1600$
所以，$w$与$x$之间的函数关系式为$w = -2x^2 + 120x - 1600$。
(2)解：为了求$w$的最大值，将$w$的表达式化为顶点式。
$w = -2x^2 + 120x - 1600$
$w = -2(x^2 - 60x) - 1600$
$w = -2(x^2 - 60x + 900) + 200$
$w = -2(x - 30)^2 + 200$
由于这是一个开口向下的一元二次函数，其最大值出现在对称轴$x = 30$上，此时$w$的最大值为200。
所以，该产品销售价定为每千克30元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元。