《2025年一本通武汉出版社九年级数学上册北师大版核心板》

1. 分解因式：$x^{2}-2x= $$x(x - 2)$；$x(x+1)-2(x+1)= $$(x + 1)(x - 2)$；$x^{2}-9= $$(x + 3)(x - 3)$；$x^{2}-6x+9= $$(x - 3)^{2}$.

答案： 【解析】：
本题主要考察因式分解的几种常用方法，包括提取公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式）等。
对于 $x^{2}-2x$，可以提取公因式 $x$，得到 $x(x-2)$。
对于 $x(x+1)-2(x+1)$，可以提取公因式 $x+1$，得到 $(x+1)(x-2)$。
对于 $x^{2}-9$，可以利用平方差公式 $a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$，得到 $(x+3)(x-3)$。
对于 $x^{2}-6x+9$，可以利用完全平方公式 $a^{2}-2ab+b^{2}=(a-b)^{2}$，得到 $(x-3)^{2}$。
【答案】：
$x(x - 2)$；$(x + 1)(x - 2)$；$(x + 3)(x - 3)$；$(x - 3)^{2}$

2.(24贵州)一元二次方程$x^{2}-2x= 0$的解是 …………………………………………(B)
A.$x_{1}= 3$,$x_{2}= 1$
B.$x_{1}= 2$,$x_{2}= 0$
C.$x_{1}= 3$,$x_{2}= -2$
D.$x_{1}= -2$,$x_{2}= -1$

答案： 解：$x^{2}-2x=0$
$x(x-2)=0$
$x=0$或$x-2=0$
解得$x_{1}=0$，$x_{2}=2$
B

3. 方程$(x+1)(x-2)= 0$的解是 ……………………………………………………………(D)
A.$x= 2$
B.$x= -1$
C.$x_{1}= -2$,$x_{2}= 1$
D.$x_{1}= 2$,$x_{2}= -1$

答案： 解：方程$(x + 1)(x - 2)=0$，
则$x + 1 = 0$或$x - 2 = 0$，
解得$x_1=-1$，$x_2=2$。
答案：D

4. 小华在解一元二次方程$x^{2}+x= 0$时,只得出一个根$x= -1$,则被漏掉的一个根是0.

答案： 解：$x^{2}+x=0$
$x(x + 1)=0$
$x=0$或$x + 1=0$
解得$x_{1}=0$，$x_{2}=-1$
被漏掉的一个根是$0$

5.(1)$x^{2}= 2025x$的解是$x_{1} = 0$，$x_{2} = 2025$；(2)$x^{2}-9= 0$的解是$x_{1} = 3$，$x_{2} = -3$；(3)$x^{2}-6x+9= 0$的解是$x_{1} = x_{2} = 3$.

答案： 【解析】：
本题主要考察一元二次方程的因式分解法求解。
(1) 对于方程 $x^{2} = 2025x$，首先进行移项，得到 $x^{2} - 2025x = 0$，然后提取公因式x，得到 $x(x - 2025) = 0$，由此可得 $x = 0$ 或 $x = 2025$。
(2) 对于方程 $x^{2} - 9 = 0$，可以直接利用平方差公式进行因式分解，得到 $(x + 3)(x - 3) = 0$，由此可得 $x = 3$ 或 $x = -3$。
(3) 对于方程 $x^{2} - 6x + 9 = 0$，观察可知这是一个完全平方的形式，即 $(x - 3)^{2} = 0$，由此可得 $x = 3$，且两个解相等。
【答案】：
(1) $x_{1} = 0$，$x_{2} = 2025$
(2) $x_{1} = 3$，$x_{2} = -3$
(3) $x_{1} = x_{2} = 3$

6. 方程$x(x-2)= x$的解是$x_1 = 0$，$x_2 = 3$；方程$x(x-1)= 2(x-1)$的解是$x_1 = 1$，$x_2 = 2$.

答案： 【解析】：
本题主要考查用因式分解法求解一元二次方程。
对于方程$x(x-2)= x$：
将所有项移到等式一边，得到$x(x-2) - x = 0$，
进一步整理，得到$x^2 - 2x - x = 0$，
合并同类项，得到$x^2 - 3x = 0$，
提取公因式$x$，得到$x(x - 3) = 0$，
由此可得，$x = 0$ 或 $x - 3 = 0$，
解得$x_1 = 0$，$x_2 = 3$。
对于方程$x(x-1)= 2(x-1)$：
将所有项移到等式一边，得到$x(x-1) - 2(x-1) = 0$，
进行因式分解，得到$(x-1)(x-2) = 0$，
由此可得，$x - 1 = 0$ 或 $x - 2 = 0$，
解得$x_1 = 1$，$x_2 = 2$。
【答案】：
$x_1 = 0$，$x_2 = 3$；$x_1 = 1$，$x_2 = 2$。

7. 用因式分解法解方程：
(1)$x(x-2)+x-2= 0$；
(2)$x(x-2)+(x^{2}-4)= 0$；
(3)$x^{2}-1= 4(x-1)$；
(4)$4x^{2}-(x-1)^{2}= 0$.

答案：
(1)解：$x(x-2)+x-2=0$
$(x-2)(x+1)=0$
$x-2=0$或$x+1=0$
$x_{1}=2$，$x_{2}=-1$
(2)解：$x(x-2)+(x^{2}-4)=0$
$x(x-2)+(x+2)(x-2)=0$
$(x-2)(x+x+2)=0$
$(x-2)(2x+2)=0$
$x-2=0$或$2x+2=0$
$x_{1}=2$，$x_{2}=-1$
(3)解：$x^{2}-1=4(x-1)$
$(x+1)(x-1)-4(x-1)=0$
$(x-1)(x+1-4)=0$
$(x-1)(x-3)=0$
$x-1=0$或$x-3=0$
$x_{1}=1$，$x_{2}=3$
(4)解：$4x^{2}-(x-1)^{2}=0$
$(2x+x-1)(2x-x+1)=0$
$(3x-1)(x+1)=0$
$3x-1=0$或$x+1=0$
$x_{1}=\frac{1}{3}$，$x_{2}=-1$

8. 有一个面积为$35\ \text{cm}^{2}$的长方形,将它的一边剪短$3\ \text{cm}$,另一边剪短$5\ \text{cm}$,恰好剪成一个正方形,求出这个正方形的边长.

答案： 解：设正方形的边长为$x\ \text{cm}$，则原长方形的长为$(x + 5)\ \text{cm}$，宽为$(x + 3)\ \text{cm}$。
根据题意，得$(x + 5)(x + 3) = 35$。
展开并整理，得$x^2 + 8x + 15 - 35 = 0$，即$x^2 + 8x - 20 = 0$。
因式分解，得$(x + 10)(x - 2) = 0$。
解得$x_1 = -10$（不合题意，舍去），$x_2 = 2$。
答：这个正方形的边长为$2\ \text{cm}$。