《2025年一本通武汉出版社九年级数学上册北师大版核心板》

6. 定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做“神奇四边形”。
(1)我们学过下列四边形：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形。其中是“神奇四边形”的是 ④。(填序号)
(2)如图1,在正方形ABCD中,E为BC上一点,连接AE,过点B作BG⊥AE于点H,交CD于点G,连接AG,EG。
①判定四边形ABEG是否为“神奇四边形”；
②如图2,点M,N,P,Q分别是AB,AG,GE,EB的中点,求证：四边形MNPQ是“神奇四边形”。
(3)如图3,点F,R分别在正方形ABCD的边AB,CD上,把正方形沿直线FR翻折,使得BC的对应边B'C'恰好经过点A,过点A作AO⊥FR于点O。若AB'= 2,正方形的边长为6,求线段OF的长。

(2)①解：四边形ABEG是“神奇四边形”。
∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD，∠ABE=∠BCG=90°。
∵BG⊥AE，∴∠BAE+∠ABH=∠ABH+∠CBG=90°，∴∠BAE=∠CBG。
∴△ABE≌△BCG(ASA)，∴AE=BG，BE=CG。
∵∠ABC=∠BCD=90°，∴∠ABG=∠BEG=45°+∠CBG，∴AE⊥BG。
∴四边形ABEG对角线互相垂直且相等，是“神奇四边形”。
②证明：∵M,N,P,Q分别是AB,AG,GE,EB中点，
∴MN=1/2BG，MN//BG；PQ=1/2BG，PQ//BG；MQ=1/2AE，MQ//AE；NP=1/2AE，NP//AE。
∴MN=PQ，MN//PQ；MQ=NP，MQ//NP，∴四边形MNPQ是平行四边形。
∵AE=BG且AE⊥BG，∴MN=MQ且MN⊥MQ，∴▱MNPQ是正方形。
∴四边形MNPQ对角线互相垂直且相等，是“神奇四边形”。
(3)解：设AF=x，FR交AB于O。由折叠得B'F=BF=6-x，AB'=2。
在Rt△AB'F中，x²+2²=(6-x)²，解得x=8/3，∴BF=10/3。
过R作RG⊥AB于G，设GR=6，FG=y，AR²=AG²+GR²=(8/3+y)²+6²。
由折叠性质得AR=CR=6-y，∴(8/3+y)²+36=(6-y)²，解得y=14/15。
FR=√(y²+6²)=√((14/15)²+36)=256/15。
S△AFR=1/2AF·GR=1/2FR·AO，AO=AF·GR/FR=(8/3×6)/(256/15)=15/8。
OF=√(AF²-AO²)=√((8/3)²-(15/8)²)=17/24。

答案：
(1)④
(2)①解：四边形ABEG是“神奇四边形”。
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠ABE=∠BCG=90°。
∵BG⊥AE，
∴∠BAE+∠ABH=∠ABH+∠CBG=90°，
∴∠BAE=∠CBG。
∴△ABE≌△BCG(ASA)，
∴AE=BG，BE=CG。
∵∠ABC=∠BCD=90°，
∴∠ABG=∠BEG=45°+∠CBG，
∴AE⊥BG。
∴四边形ABEG对角线互相垂直且相等，是“神奇四边形”。
②证明：
∵M,N,P,Q分别是AB,AG,GE,EB中点，
∴MN=1/2BG，MN//BG；PQ=1/2BG，PQ//BG；MQ=1/2AE，MQ//AE；NP=1/2AE，NP//AE。
∴MN=PQ，MN//PQ；MQ=NP，MQ//NP，
∴四边形MNPQ是平行四边形。
∵AE=BG且AE⊥BG，
∴MN=MQ且MN⊥MQ，
∴▱MNPQ是正方形。
∴四边形MNPQ对角线互相垂直且相等，是“神奇四边形”。
(3)解：设AF=x，FR交AB于O。由折叠得B'F=BF=6-x，AB'=2。
在Rt△AB'F中，x²+2²=(6-x)²，解得x=8/3，
∴BF=10/3。
过R作RG⊥AB于G，设GR=6，FG=y，AR²=AG²+GR²=(8/3+y)²+6²。
由折叠性质得AR=CR=6-y，
∴(8/3+y)²+36=(6-y)²，解得y=14/15。
FR=√(y²+6²)=√((14/15)²+36)=256/15。
S△AFR=1/2AF·GR=1/2FR·AO，AO=AF·GR/FR=(8/3×6)/(256/15)=15/8。
OF=√(AF²-AO²)=√((8/3)²-(15/8)²)=17/24。
答案：
(1)④；
(2)①是；②见证明；
(3)17/24。