《2025年一本通武汉出版社九年级数学上册北师大版核心板》

6. (24 宜宾)某校为了提升学生的综合素养,在课外活动中开设了四个兴趣小组:A. 插花组;B. 跳绳组;C. 话剧组;D. 书法组. 为了解学生对每个兴趣小组的参与情况,随机抽取了部分学生进行调查,并将调查结果绘制成如图所示的不完整的统计图.
请结合图中信息,解答下列问题:
(1)本次共调查了40名学生,并将条形统计图补充完整;

(2)话剧组所对应扇形的圆心角为72°;
(3)书法组成绩最好的 4 名学生由 3 名男生和 1 名女生构成. 从中随机抽取 2 名参加比赛,请用列表或画树状图的方法,求刚好抽到 1 名男生与 1名女生的概率.
解：设3名男生分别为1，2，3，1名女生为4，列表如下：
| | 1 | 2 | 3 | 4 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 1 | - | (1,2) | (1,3) | (1,4) |
| 2 | (2,1) | - | (2,3) | (2,4) |
| 3 | (3,1) | (3,2) | - | (3,4) |
| 4 | (4,1) | (4,2) | (4,3) | - |
共有12种等可能的结果，其中刚好抽到1名男生与1名女生的结果有6种，
所以刚好抽到1名男生与1名女生的概率为$\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$。

答案： 【解析】：
（1）首先，可以根据A类学生所占的百分比和人数来计算总调查的学生数。
A类学生有4人，占总人数的$10\%$，
所以总人数为：$4÷10\%=40(人)$。
接着，可以计算出C类学生的人数，方法是总人数减去A、B、D三类学生的人数：
$40-4-16-12=8(人)$。
因此，需要将条形统计图补充完整，C类学生的人数应为8人。
本次共调查了40名学生。
（2）话剧组（C类）在扇形统计图中所对应的圆心角可以通过以下公式计算：
$圆心角 = 360^\circ × \frac{话剧组人数}{总人数}= 360^\circ × \frac{8}{40}=72^\circ$。
（3）为了找出刚好抽到1名男生和1名女生的概率，可以使用列表法来列出所有可能的组合，并找出满足条件的组合数量。
设3名男生分别为1，2，3，1名女生为4，
则所有可能的组合为：$(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)$，共12种情况。
其中，刚好抽到1名男生和1名女生的组合有：$(1,4),(2,4),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)$，共6种情况。
所以，刚好抽到1名男生和1名女生的概率为：$P=\frac{满足条件的组合数}{所有可能的组合数}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$。
【答案】：
(1) 40；图略（C类学生的人数为8人）；
(2) 72°；
(3) $\frac{1}{2}$。

7. 解方程:
(1)$3x(x+2)= 4(x-1)+7$;
(2)$4000(1-x)^2= 3240$.

答案：
(1)解：$3x(x + 2) = 4(x - 1) + 7$
$3x^2 + 6x = 4x - 4 + 7$
$3x^2 + 6x - 4x - 3 = 0$
$3x^2 + 2x - 3 = 0$
$a = 3$，$b = 2$，$c = -3$
$\Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4×3×(-3) = 4 + 36 = 40$
$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{40}}{2×3} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{10}}{6} = \frac{-1 \pm \sqrt{10}}{3}$
$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{10}}{3}$，$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{10}}{3}$
(2)解：$4000(1 - x)^2 = 3240$
$(1 - x)^2 = 3240÷4000 = 0.81$
$1 - x = ±0.9$
当$1 - x = 0.9$时，$x = 1 - 0.9 = 0.1$
当$1 - x = -0.9$时，$x = 1 + 0.9 = 1.9$
$x_1 = 0.1$，$x_2 = 1.9$

8. 如图,在□ABCD 中,$AB= 6$,$BC= 10$,对角线$AC⊥AB$,点 E,F 分别是边 BC,AD 上的点,且$BE= DF$.
(1)求证:四边形 AECF 是平行四边形.
(2)填空:①当 BE 的长度为3.2时,四边形 AECF 是菱形;
②当 BE 的长度为5时,四边形 AECF 是矩形.

答案： 【解析】：
(1) 要证明四边形AECF是平行四边形，我们可以按照以下步骤进行：
首先，由于ABCD是平行四边形，根据平行四边形的性质，我们知道$AD// BC$且$AD = BC$。
然后，由于$DF = BE$，我们可以得出$AF = EC$（因为$AF = AD - DF$，$EC = BC - BE$，且$AD = BC$，$DF = BE$）。
接着，由于$AF// EC$（因为$AD// BC$），并且$AF = EC$，根据平行四边形的定义，我们可以得出四边形AECF是平行四边形。
(2)
① 要确定四边形AECF是菱形时BE的长度，我们可以按照以下步骤进行：
由于四边形AECF是菱形，根据菱形的性质，我们知道$AE = CE$。
又因为$AC\perp AB$，所以$\angle BAC = 90^\circ$。
在直角三角形ABC中，利用勾股定理，我们可以求出$AC = \sqrt{BC^2 - AB^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8$。
设$BE = x$，则$AE = CE = 10 - x$。
在直角三角形ABE中，利用勾股定理，我们有$AB^2 + BE^2 = AE^2$，即$6^2 + x^2 = (10 - x)^2$。
解这个方程，我们得到$x = 3.2$。
所以当$BE = 3.2$时，四边形AECF是菱形。
② 要确定四边形AECF是矩形时BE的长度，我们可以按照以下步骤进行：
由于四边形AECF是矩形，根据矩形的性质，我们知道$\angle AEC = 90^\circ$。
又因为$AC\perp AB$，所以点E必然是BC的中点（因为矩形对角线相等且互相平分，而AC已经垂直于AB，所以AE必须垂直于EC，即E是BC的中点）。
所以$BE = \frac{BC}{2} = 5$。
所以当$BE = 5$时，四边形AECF是矩形。
【答案】：
(1) 证明过程如上所述，四边形AECF是平行四边形。
(2) ① $3.2$；② $5$。