《2025年一本通武汉出版社九年级数学上册北师大版核心板》

7.现有两组相同的扑克牌,每组两张,两张牌的牌面数字分别是2和3,从每组牌中各随机摸出一张牌,称为一次试验.
(1)小红与小明用这两组扑克牌做游戏,若摸到的牌面数字相同,则小红获胜,否则小明获胜,请用列表或画树状图的方法说明这个游戏是否公平;
(2)小丽认为:在一次试验中,两张牌的牌面数字和可能为4,5,6三种情况,所以出现“和为4”的概率是$\frac{1}{3}$.她的这种看法是否正确?说明理由.

答案：
(1)解：列表如下：
| 第一张牌 | 2 | 3 |
| :---: | :---: | :---: |
| 2 | (2,2) | (2,3) |
| 3 | (3,2) | (3,3) |
共有4种等可能的结果，其中数字相同的有2种，数字不同的有2种。
P(小红获胜)=$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，P(小明获胜)=$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
因为$\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$，所以游戏公平。
(2)解：不正确。
由
(1)中列表可知，共有4种等可能的结果，和为4的有1种（2,2），所以P(和为4)=$\frac{1}{4}$≠$\frac{1}{3}$，故她的看法不正确。

8.解方程：
(1)$3x(x-2)= 2(2-x)$；
(2)$(3x+2)(x+3)= x+14$.

答案：
(1)解：$3x(x-2)=2(2-x)$
$3x(x-2)+2(x-2)=0$
$(x-2)(3x+2)=0$
$x-2=0$或$3x+2=0$
$x_{1}=2$，$x_{2}=-\dfrac{2}{3}$
(2)解：$(3x+2)(x+3)=x+14$
$3x^{2}+9x+2x+6=x+14$
$3x^{2}+10x-8=0$
$(3x-2)(x+4)=0$
$3x-2=0$或$x+4=0$
$x_{1}=\dfrac{2}{3}$，$x_{2}=-4$

9.如图,在矩形ABCD中,对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M,与BD相交于点O,与BC相交于点N,连接BM,DN.
(1)求证:四边形BMDN是菱形；
(2)若$AB= 8,AD= 16$,求MD的长.

答案： 【解析】：
(1)证明：
∵四边形ABCD为矩形。
∴$\angle A=90^\circ$,$AD// BC$。
∴$\angle MDO=\angle NBO$，$\angle DMO=\angle BNO$。
根据全等三角形（AAS）判定定理：‌两个三角形如果两个角分别相等且其中一组等角的对边相等，‌则这两个三角形全等。‌
在$\triangle DMO$和$\triangle BNO$中，
∵$\begin{cases}\angle MDO=\angle NBO,\\\angle DMO=\angle BNO,\\BO=DO.\end{cases}$
∴$\triangle DMO\cong\triangle BNO$。
∴$OM=ON$。
∵$OB=OD$，
根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，
∴四边形BMDN为平行四边形。
又
∵$MN\perp BD$，
根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，
∴四边形BMDN是菱形。
(2)
∵四边形BMDN是菱形，
∴$MB=DN$。
根据矩形性质，$MD=MB$。
设$MD$长为$x$，则$MD=MB=x$。
在$Rt\triangle AMB$中，$BM^2=AM^2+AB^2$ ，
将$AB=8$，$AD=16$，$MD=x$，$AM=16-x$代入：
$x^2=(16-x)^2+8^2$，
$x^2=256-32x+x^2+64$，
$32x=320$，
解得：$x=10$。
∴$MD=10$。
【答案】：
(1)证明：
∵四边形ABCD为矩形。
∴$\angle A=90^\circ$,$AD// BC$。
∴$\angle MDO=\angle NBO$，$\angle DMO=\angle BNO$。
在$\triangle DMO$和$\triangle BNO$中，
∵$\begin{cases}\angle MDO=\angle NBO,\\\angle DMO=\angle BNO,\\BO=DO.\end{cases}$
∴$\triangle DMO\cong\triangle BNO$。
∴$OM=ON$。
∵$OB=OD$，
∴四边形BMDN为平行四边形。
又
∵$MN\perp BD$，
∴四边形BMDN是菱形。
(2)$MD=10$。