《2025年阳光同学分层设计九年级数学全一册人教版福建专版》

2. 如图,在矩形 $ABCD$ 中,$E$,$F$ 分别在 $AD$,$BC$ 上,将四边形 $ABFE$ 沿 $EF$ 翻折,使点 $A$ 的对称点 $P$ 落在 $CD$ 上,点 $B$ 的对称点为 $G$,$PG$ 交 $BC$ 于点 $H$。
(1) 求证：$\triangle EDP \backsim \triangle PCH$；
(2) 若 $P$ 为 $CD$ 的中点,且 $AB = 2$,$BC = 3$,求 $GH$ 的长；
(3) 连接 $BG$,若 $P$ 为 $CD$ 的中点,$H$ 为 $BC$ 的中点,探究 $BG$ 与 $AB$ 的数量关系,并说明理由。

答案：
(1)略
(2)$\frac{3}{4}$
(3)$AB=\sqrt{6}BG$，理由略

3. 如图,四边形 $ABCD$ 是边长为 $2$ 的正方形,且 $E$ 是边 $BC$ 延长线上一点,过点 $B$ 作 $BF \perp DE$ 于点 $F$,交 $CD$ 于点 $G$。
(1) 求证：$DG \cdot AB = DF \cdot BG$；
(2) 若 $G$ 是 $CD$ 的中点,求 $\frac{GF}{CE}$ 的值；
(3) 连接 $CF$,求 $\angle CFB$ 的度数。

答案：
(1)略
(2)$\frac{\sqrt{5}}{5}$
(3)$45^{\circ}$