《2025年阳光同学分层设计九年级数学全一册人教版福建专版》

“两线一圆”构造直角三角形
条件：点 P 是直线 l 上一动点
方法：分别过 A,B 作 AB 的垂线,再以线段 AB 为直径作圆,两垂线和圆与 l 的交点即为点 P

解法：勾股定理列方程

答案： 按照上述方法和定理可确定满足条件的点$P$（$P_1$、$P_2$、$P_3$、$P_4$）的位置。

“两圆一线”构造等腰三角形
条件：点 P 是直线 l 上一动点
方法：分别以点 A,B 为圆心,以线段 AB 的长为半径作圆,再作 AB 的垂直平分线,两圆和垂直平分线与 l 的交点即为点 P

解法：腰相等列方程

答案： 直线$l$上满足条件的点$P$为$P_1$、$P_2$、$P_3$、$P_5$。

结合直角三角形和等腰三角形构造等腰直角三角形

解法：构造三垂直全等求解
1. 如图,抛物线 $ y = - x ^ { 2 } + b x + c $ 经过点 $ A ( - 1, 0 ) $ 和 $ C ( 0, 3 ) $。
(1) 求抛物线的解析式；
(2) 设点 M 在抛物线的对称轴上,当 $ \triangle M A C $ 是直角三角形时,求点 M

的坐标。
2. 如图,抛物线 $ y = - x ^ { 2 } + 4 x + 5 $ 与 x 轴交于 A,B 两点(点 A 在点 B 左侧),与 y 轴交于点 C。在抛物线的对称轴上是否存在一点 P,使得 $ \triangle B C P $ 是等腰三角形？若存在,请求出所有满足条件的点 P 的坐标；若不存在,请说明理由。
3. 如图,抛物线 $ y = - \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } + \frac { 3 } { 2 } x + 2 $ 与 x 轴交于 A,B 两点(点 A 在点 B 左侧),与 y 轴交于点 C,P 为抛物线上一点,其横坐标为 p。点 M 在抛物线的对称轴上,当 $ \triangle B P M $ 是以 BM 为斜边的等腰直角三角形时,求 p

的值。

答案： 1.
(1)$y=-x^{2}+2x+3$
(2)点 M 的坐标为$(1,1)$或$(1,2)$或$(1,\frac {8}{3})$或$(1,-\frac {2}{3})$
2. 存在，满足条件的点 P 的坐标为$(2,\sqrt {41})$或$(2,-\sqrt {41})$或$(2,5+\sqrt {46})$或$(2,5-\sqrt {46})$或$(2,2)$
3. p 的值为$\frac {1\pm \sqrt {29}}{2}$或$\frac {5\pm \sqrt {29}}{2}$
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