《2025年阳光同学分层设计九年级数学全一册人教版福建专版》

1. 如图,在平面直角坐标系中,抛物线$y= -x^{2}+2x+3与x轴交于A$,$B$两点,与$y轴交于点C$,点$P$是抛物线上一动点,且在直线$BC$的上方. 过点$P作PD\perp x$轴,交直线$BC于点E$,若$PE= 2ED$,求点$P$的坐标.

答案： $ P(2,3) $

2. 如图,在平面直角坐标系中,抛物线$y= \frac {1}{4}x^{2}-\frac {1}{2}x-2与x轴交于B$,$C$两点,与$y轴交于点A$.$P是直线AB$下方抛物线上的一动点,$PK// x$轴,交$AB于点K$,$PD// y$轴,交$x轴于点D$. 求$\frac {1}{2}PK+PD的最大值及此时点P$的坐标.

答案： $ \frac{1}{2}PK + PD $ 的最大值为 $ \frac{25}{8} $，此时点 $ P $ 的坐标为 $ \left( \frac{3}{2}, -\frac{35}{16} \right) $

3. 如图,在平面直角坐标系中,抛物线$y= -x^{2}+2x+3与x轴交于A$,$B$两点,与$y轴交于点C$,作直线$BC$. 点$P是线段BC$上方的抛物线上一动点,过点$P作PQ\perp BC$,垂足为$Q$,请问线段$PQ$是否存在最大值？若存在,请求出最大值及此时点$P$的坐标；若不存在,请说明理由.

答案： 存在，$ PQ $ 的最大值为 $ \frac{9}{8}\sqrt{2} $，此时 $ P \left( \frac{3}{2}, \frac{15}{4} \right) $