《2025年阳光同学分层设计九年级数学全一册人教版福建专版》

铅垂法
作法：$PQ// y轴交BC于点Q$
方法：$S_{\triangle PBC}= \frac {1}{2}PQ\cdot |x_{B}-x_{C}|$
1. 如图,抛物线$y= \frac {1}{2}x^{2}-3x-8与x轴交于A$,$B$两点(点$A在点B$的左侧),与$y轴交于点C$,顶点为$D$,连接$AC$,$BC$,$BC与抛物线的对称轴交于点E$．若点$P$是第四象限内抛物线上一动点,连接$PB$,$PC$,当$S_{\triangle PBC}= \frac {3}{5}S_{\triangle ABC}$时,求点$P$的坐标．

答案： 点 P 的坐标为$(2,-12)$或$(6,-8)$

割补法
作法：连接$OP$
方法：$S_{\triangle PBC}= S_{\triangle POB}+S_{\triangle POC}-S_{\triangle OBC}$
2. 已知二次函数$y= ax^{2}+bx+4(a≠0,a,b$为常数)的图象与$x轴交于A(-1,0)$,$B(6,0)$两点,与$y轴的正半轴交于点C$,过点$C的直线y= -\frac {4}{3}x+4与x轴交于点D$．
(1)求此二次函数的解析式．
(2)如图,点$P$是第一象限内二次函数图象上的一个动点,试探究$\triangle CDP$的面积是否存在最大值？若存在,请求出此时点$P$的坐标,并求出$\triangle CDP$面积的最大值；若不存在,请说明理由．
续表

答案：
(1)$y=-\frac {2}{3}x^{2}+\frac {10}{3}x+4$
(2)存在，$P(\frac {7}{2},\frac {15}{2})$，$S_{\triangle CDP}$的最大值为$\frac {49}{4}$

转化法
面积比→底之比
方法：$\frac {S_{\triangle PAD}}{S_{\triangle PBD}}= \frac {AD}{BD}$
3. 如图,抛物线$y= ax^{2}+2x+c(a＜0)与x轴交于点A和点B$(点$A$在原点的左侧,点$B$在原点的右侧),与$y轴交于点C$,$OB= OC= 3$．
(1)求该抛物线的函数解析式；
(2)连接$BC$,点$D是直线BC$上方抛物线上的点,连接$OD$,$CD$,$OD交BC于点F$,当$S_{\triangle COF}:S_{\triangle CDF}= 3:2$时,求点$D$的坐标．

答案：
(1)$y=-x^{2}+2x+3$
(2)点 D 的坐标为$(1,4)$或$(2,3)$

转化法
面积比→高之比
作法：$PH⊥x$轴
方法：$\frac {S_{\triangle PAD}}{S_{\triangle CAD}}= \frac {PH}{OC}$
4. 如图,经过定点$A的直线y= k(x-2)+1(k＜0)交抛物线y= -x^{2}+4x于B$,$C$两点(点$C在点B$的右侧),$D$为抛物线的顶点．若$S_{\triangle ACD}= 2S_{\triangle ABD}$,求$k$的值．

答案： $-\frac {\sqrt {6}}{2}$

平行转化法
作法：作$PM// AC$,连接$CM$
方法：$S_{\triangle PAC}= S_{\triangle MAC}$
5. 如图,抛物线交$x轴于A$,$B$两点,与$y轴交于点D$,$C$是抛物线的顶点,已知点$B(3,0)$,$C(1,-4)$．
(1)求此抛物线的解析式．
(2)连接$AD$,$P$是抛物线上一点,且点$P在直线BD$上方(与点$A$不重合)．若$S_{\triangle PBD}= S_{\triangle ABD}$,求出点$P$的坐标．

答案：
(1)$y=x^{2}-2x-3$
(2)$P(4,5)$