《2025年阳光同学分层设计九年级数学全一册人教版福建专版》

例题精讲
题文
如图,抛物线$y= -\frac {1}{2}x^{2}+x+4与x轴交于点A$,$B$(点$A在点B$的左侧),与$y轴交于点C$,$P$为第一象限内抛物线上一点,直线$AP交y轴于点M$,直线$BP交y轴于点N$,在点$P$运动过程中,$OM+\frac {1}{2}ON$是否为定值？若是,求出这个定值；若不是,请说明理由。
方法
点参法
线参法
思路
设点坐标→点参表示直线→点参表示关联点坐标→定值
设直线解析式→线参表示点坐标→根系消参→定值
解题过程
解：设点$P(m,-\frac {1}{2}m^{2}+m+4)$。
根据抛物线设点坐标
易得点$A(-2,0)$,点$B(4,0)$。
∴直线$PA:y= -\frac {1}{2}(m-4)x+4-m$。
直线$PB:y= -\frac {1}{2}(m+2)x+4+2m$。
点参表示直线
∴点$M(0,4-m)$,$N(0,4+2m)$。
根据直线解析式求出$M$,$N$两点坐标
$\therefore OM= 4-m$,$ON= 4+2m$,
$\therefore OM+\frac {1}{2}ON= 4-m+2+m= 6$。
解：由抛物线$y= -\frac {1}{2}x^{2}+x+4$,易知点$A(-2,0)$,点$B(4,0)$,
∴可设直线$PA:y= k_{1}x+2k_{1}$,$PB:y= k_{2}x-4k_{2}$。
直接设直线解析式
$\therefore OM+\frac {1}{2}ON= 2k_{1}-2k_{2}$。
联立$\left\{\begin{array}{l} y= -\frac {1}{2}x^{2}+x+4,\\ y= k_{1}x+2k_{1}.\end{array}\right.$
整理,得$\frac {1}{2}x^{2}+(k_{1}-1)x+2k_{1}-4= 0$。
$\therefore x_{A}+x_{P}= 2-2k_{1}$。
$\because x_{A}= -2$。
$\therefore x_{P}= 4-2k_{1}$。
同理,联立直线$PB$与抛物线的函数解析式,
得$x_{P}= -2-2k_{2}$。
联立解析式求点$P$的坐标
$\therefore 4-2k_{1}= -2-2k_{2}$。
$\therefore k_{1}-k_{2}= 3$。
$\therefore OM+\frac {1}{2}ON= 2k_{1}-2k_{1}= 6$。

答案： 是，定值为$6$。