《2025年阳光同学分层设计九年级数学全一册人教版福建专版》

(2025漳州实验学校月考)如果关于x的一元二次方程$ax^{2}+bx+c= 0(a≠0)$有两个实数根,且其中一个根为另一个根的2倍,那么称这样的方程为“倍根方程”.例如,一元二次方程$x^{2}-6x+8= 0$的两个根是2和4,则这个方程为“倍根方程”.
(1)若关于x的一元二次方程$x^{2}-3x+c= 0$是“倍根方程”,求c的值；
(2)若关于x的一元二次方程$(x-2)(mx-n)= 0(m≠0)$是“倍根方程”,求代数式$4m^{2}-5mn+n^{2}$的值；
(3)若关于x的一元二次方程$ax^{2}+bx+c= 0(a≠0)$是“倍根方程”,求证：$2b^{2}= 9ac$.

答案：
(1)2
(2)0
(3)略

1.如果关于x的一元二次方程$ax^{2}+bx+c= 0满足a+b+c= 0$,那么称这样的方程为“美好方程”.例如,方程$x^{2}-4x+3= 0满足1-4+3= 0$,则这个方程就是“美好方程”.
(1)下列方程是“美好方程”的是____(填序号).
①$x^{2}+2x-3= 0$ ②$x^{2}-3x= 0$ ③$x^{2}+1= 0$ ④$x(x-1)= 2(x-1)$
(2)求证:“美好方程”$ax^{2}+bx+c= 0$总有两个实数根.
(3)若“美好方程”$(b-c)x^{2}+(c-a)x+(a-b)= 0$有两个相等的实数根,求证:$a+c= 2b$.

答案：
(1)①④
(2)略
(3)略