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1. 如图,正方形 $ABCD$ 内接于 $\odot O$,$E$ 是 $\widehat { B C }$ 的中点,连接 $AE$,$DE$,$CE$。求证：$A E + C E = \sqrt { 2 } D E$。
答案：
连接$AC$，$BD$，将$\triangle CDE$绕点$D$顺时针旋转$90^{\circ}$得$\triangle ADF$，证$A$、$F$、$E$共线，$\triangle DFE$为等腰直角三角形，$FE = \sqrt{2}DE$，$AE + CE=AE + AF=FE$，所以$AE + CE=\sqrt{2}DE$。
2. 如图,$\odot O$ 的半径为 $1$,$A$,$P$,$B$,$C$ 是 $\odot O$ 上的四个点,$\angle A P C = \angle C P B = 60 ^ { \circ }$。试探究线段 $PA$,$PB$,$PC$ 之间的数量关系,并证明你的结论。
答案：
$ PC = PA + PB $，证明略
3. 如图,$\triangle A B C$ 内接于 $\odot O$,$AB$ 是 $\odot O$ 的直径,$D$ 为 $AC$ 的延长线上一点,$\angle D C B$ 的平分线 $CP$ 交 $\odot O$ 于点 $P$,连接 $PA$,$PB$。
(1) 判断 $\triangle P A B$ 的形状并证明；
(2) 若 $P C = 3$,求 $B C - A C$ 的值。
(1) 判断 $\triangle P A B$ 的形状并证明；
(2) 若 $P C = 3$,求 $B C - A C$ 的值。
答案：
(1)$ \triangle PAB $ 为等腰直角三角形，证明略
(2)$ 3\sqrt{2} $
(1)$ \triangle PAB $ 为等腰直角三角形，证明略
(2)$ 3\sqrt{2} $
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