《2025年阳光同学分层设计九年级数学全一册人教版福建专版》

(2023 福建改编) 已知抛物线 $ y = ax^{2} + bx + 3 $ 交 x 轴于 $ A(1,0),B(3,0) $ 两点, M 为抛物线的顶点,C,D 为抛物线上不与点 A,B 重合的相异两点, 记 AB 的中点为 E.
(1) 求抛物线对应的函数解析式;
(2) 若 $ C(4,3),D(m,-\frac{3}{4}) $, 且 $ m ＜ 2 $, 求证: C,D,E 三点共线.

答案：
(1)$y=x^{2}-4x+3$
(2)略

1. 二次函数 $ y = x^{2} + x - 1 $ 图象的顶点为 M, 且与经过点 $ F(-\frac{1}{2},-1) $ 的直线 l 相交于 A,B 两点, 过点 A 作直线 $ y = -\frac{3}{2} $ 的垂线, 垂足为 D. 求证: B,M,D 三点共线.

答案： 通过求二次函数顶点$M$坐标，联立直线$l$与二次函数方程，利用韦达定理，再通过向量法证明$\overrightarrow{MD}$与$\overrightarrow{MB}$共线，从而证明$B$，$M$，$D$三点共线。

2. 已知抛物线 $ y = -\frac{1}{2}x^{2} + 2 $ 的顶点为点 A, 点 P 与原点 O 关于点 A 对称, 点 D 在抛物线上, 点 D 关于抛物线对称轴的对称点为 E, 若直线 PD 与抛物线存在另一交点 F, 求证: E,O,F 三点在同一条直线上.

答案： 已证明$E$，$O$，$F$三点在同一条直线上。